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Chapitre 7 • Intégration
Étude au voisinage de +∞ :
x
2 e −ax − e −bx
x
tend vers 0 quand x tend vers +∞ (comparaison usuelle
des fonctions puissances et exponentielles) donc
e −ax − e −bx
x
= o(x
−2
)
quand x tend vers +∞.
Comme la fonction x → x −2 est intégrable sur [1,+∞[, il en est de même
de la fonction x →
e −ax − e −bx
x
.
En conclusion, I existe.
2. Partant de I, si l'on veut obtenir des intégrales ne faisant intervenir qu'une seule
exponentielle comme dans le résultat demandé, un problème de taille se pose. En
effet, l'égalité
I =
+∞
0
e −ax
x
dx −
+∞
0
e −bx
x
dx
n'a aucun sens ! Les deux intégrales de droite sont divergentes car la fonction intégrée est équivalente à
1
x
> 0 en 0 et
1
0
dx
x
diverge.
C'est pour cela que l'énoncé propose d'intégrer non plus à partir de 0 mais à partir
d'un certain réel h > 0 : plus aucun problème ne se pose car les deux fonctions sont
bien intégrables sur [h,+∞[ d'après l'étude effectuée à la première question.
D'une manière générale, dans le cadre des intégrales généralisées, ne jamais écrire
une expression de la forme
b
a
f (x) + g(x) dx =
b
a
f (x) dx +
b
a
g(x) dx
sans s'être assuré que les intégrales du second membre existent : il peut arriver
qu'une telle égalité n'ait pas de sens !
Soit h ∈ R ∗
+ . Les fonctions x →
e −ax
x
et x →
e −bx
x
sont intégrables sur
[h,+∞[ d'après l'étude menée dans la première question. Ainsi :
+∞
h
e −ax − e −bx
x
dx =
+∞
h
e −ax
x
dx −
+∞
h
e −bx
x
dx.
Il reste à changer ax et bx en t dans chacune des intégrales, ce qui est clairement
une application de la formule de changement de variable.