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Exercice 7.1 : Un calcul d'intégrale I
Soient a et b deux réels strictement positifs.
1. Démontrer l'existence de I =
+∞
0
e −ax − e −bx
x
dx.
2. Démontrer que, pour tout réel h > 0 :
+∞
h
e −ax − e −bx
x
dx =
bh
ah
e −t
t
dt.
3. Montrer que la fonction g : t →
e −t − 1
t
possède un prolongement continu
en 0. En déduire la valeur de I.
1. La fonction intégrée est définie et continue sur ]0,+∞[. Pour montrer que I
existe, nous allons étudier séparément l'existence de l'intégrale sur ]0,1] et de l'intégrale sur [1,+∞[.
Classiquement, ceci se fait par une recherche de limites, d'équivalents (notamment
via des développements limités) et de comparaison à des fonctions usuelles.
Étude au voisinage de 0 :
Un développement limité à l'ordre 1 en 0 donne e −ax = 1 − ax + o(x) et
e −bx = 1 − bx + o(x), d'où
e −ax − e −bx
x
= (b − a) + o(1).
La fonction x →
e −ax − e −bx
x
est continue sur ]0,1] et converge en 0 donc
l'intégrale
1
0
e −ax − e −bx
x
dx existe.
Pour l'étude au voisinage de +∞, nous allons classiquement utiliser la règle
« x α f (x) » : si on peut trouver un réel α > 1 tel que lim
x→0
x
α f (x) = 0 alors f est
intégrable au voisinage de +∞ car dominée par la fonction x → x −α qui est ellemême intégrable au voisinage de +∞.
Intégration
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