(4) 2 = 4 2 = 16 = 7
(4) 3 = 4 2 × 4 = 7 × 4 = 7 × 4 = 28 = 1 .
Écrivons l’égalité de division euclidienne de l’exposant de N par la première
puissance de 4 qui donne 1 :
2012 = 3 × 670 + 2 .
On a donc :
N = 2011
2012 = 4
3×670+2 =
4
3 670 × 4
2 = 4
2 = 7 .
Si N est congru à 7 modulo 9, il en est de même de f (N ), de f ◦ f (N ) et
de f ◦ f ◦ f (N ).
Ces nombres sont donc du type 7 + 9k avec k ∈ N.
Nous allons les localiser de sorte qu’il ne reste qu’une seule valeur de k pour
f ◦ f ◦ f (N ).
En majorant grossièrement, on a : 2011 2012 < 10000 2500 = 10 10000 .
N a donc moins de 10 000 chiffres, et on a : f (N ) < 9 × 10 000.
Le nombre inférieur à 90 000 dont la somme des chiffres est la plus grande
est 89 999 ; par conséquent : f ◦ f (N ) < 44 .
Le nombre inférieur à 44 dont la somme des chiffres est la plus grande est
39 ; par conséquent : f ◦ f ◦ f (N ) < 12.
Un seul du type 7 + 9k avec k ∈ N vérifie cette majoration. On a donc :
f ◦ f ◦ f (N ) = 7
Remarque
Avec Maple, on obtient pour N = 2011 2012 : f (N ) = 29 950.
On en déduit : f ◦ f (N ) = 25 et enfin f ◦ f ◦ f (N ) = 7.
Exercice 1.10 : Calculs dans Z/nZ
1. Résoudre dans Z/5Z l’équation : 3x + 2 = −1.
2. Résoudre :
5x + 2y ≡ 1 (mod 6)
2x + 4y ≡ 2 (mod 6)
3. Résoudre :
5x + 2y ≡ 3 (mod 6)
2x + 4y ≡ 1 (mod 5)
Dans un anneau, si vous voulez diviser par un élément, il s’agit en fait de multiplier
par son inverse, s’il existe.
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Chapitre 1 • Algèbre générale