soit :
1
x + y
√
2
(1 +
√
2) n
< 1 +
√
2 .
(1 +
√
2) n est un élément inversible de A. On peut donc poser :
x + y
√
2
(1 +
√
2) n
= x
+ y
√
2 avec x ∈ Z et y ∈ Z,
et on a : N (x + y √
2) = 1 = |x 2 − 2y 2 | = |x + y √
2| × |x − y √
2| .
On a nécessairement x = / 0.
Supposons y = / 0 ; x et y sont alors de même signe, sinon on aurait :
1 x + y √
2 =|x + y √
2| < |x − y √
2| qui entraîne |x 2 − 2y 2 | > 1.
Par suite x et y sont positifs et x + y √
2 1 +
√
2. On aboutit à une
contradiction.
On a donc y = 0 et x = 1 et on obtient : z = x + y
√
2 = (1 +
√
2) n
Les autres cas possibles sur z donnent :
−(1 +
√
2) n , ou x − y
√
2 = ±(1 +
√
2) −n .
z est donc toujours de la forme annoncée.
Exercice 1.9 : Une congruence
Pour n entier naturel écrit en base dix, on désigne par f (n) la somme des chiffres
de n.
Calculer f ◦ f ◦ f (N ) avec N = 2011 2012 .
10 est congru à 1 modulo 9, et il en est de même de toutes ses puissances. Il s’agit
donc d’un calcul dans Z/9Z, suivi d’une majoration pour obtenir un résultat unique.
Si l’écriture de n en base dix est : n = a k . . . a 1 a 0 , cela signifie que :
n = a 0 + a 1 × 10 + · · · + a k × 10
k
Si l’on se place dans Z/9Z, on peut écrire l’égalité des classes :
n = a 0 + a 1 × 10 + · · · + a k × 10
k = a 0 + a 1 + · · · + a k = f (n)
puisque 10 = 1.
Nous allons déterminer N dans Z/9Z.
Tout d’abord : 2011 = 2 + 1 + 1 = 4 .
Écrivons maintenant les puissances successives de 4 jusqu’à l’obtention
de 1.
12
Chapitre 1 • Algèbre générale