ab = (m 1 m 2 + 2n 1 n 2 ) +
√
2(n 1 m 2 + m 1 n 2 ) ∈ A
car m 1 m 2 + 2n 1 n 2 ∈ Z et n 1 m 2 + m 1 n 2 ∈ Z .
Ces deux stabilités montrent que A est un sous-annneau, qui est donc le
sous-anneau engendré par P.
2. Soit a et b des éléments inversibles de A. Ils admettent des inverses respectifs a −1 et b −1 qui appartiennent à U.
On a alors a −1 inversible et ab inversible, d’inverse b −1 a −1 car
abb −1 a −1 = 1 .
U est donc un groupe pour la multiplication de Z.
3. Cette question a pour objectif de caractériser les éléments de U.
• Soit a = m 1 + n 1
√
2 ∈ A et b = m 2 + n 2
√
2 ∈ A .
On a ab = (m 1 m 2 + 2n 1 n 2 ) +
√
2(n 1 m 2 + m 1 n 2 ), ce qui entraîne :
N (ab) = |(m 1 m 2 + 2n 1 n 2 ) 2 − 2(n 1 m 2 + m 1 n 2 ) 2 |
= |m
2
1 m
2
2 + 4n
2
1 n
2
2 − 2n
2
1 m
2
2 − 2m
2
1 n
2
2 |
Ce calcul n’a pas beaucoup d’intérêt si on s’arrête là. Soyons optimiste : calculons
N (a)N (b) en espérant découvrir quelque chose.
N (a)N (b) = |(m
2
1 − 2n
2
1 )(m
2
2 − 2n
2
2 )|
= |m
2
1 m
2
2 + 4n
2
1 n
2
2 − 2n
2
1 m
2
2 − 2m
2
1 n
2
2 | = N (ab) .
• Supposons que z ∈ U. Il existe donc z ∈ U tel que zz = 1.
D’après ce qu’on vient d’obtenir, on en déduit que N (z)N (z ) = N (1) = 1.
Comme N (z) et N (z ) appartiennent à N ∗ , on conclut que N (z) = 1.
• Supposons que z = m + n
√
2 ∈ A avec N (z) = 1.
Remarquons d’abord que : (m + n
√
2)(m − n
√
2) = m 2 − 2n 2 .
Si N (z) = |m 2 − 2n 2 | = 1 , z est inversible, son inverse étant soit
m − n
√
2, soit −m + n
√
2.
z appartient donc bien à U.
4. • Si z = ±(1 +
√
2) n avec n ∈ Z, on a N (z) =
N (1 +
√
2)
n = 1 ;
z appartient donc à U.
• Réciproquement, soit z = x + y
√
2 ∈ U , ce qui est équivalent à
|x 2 − 2y 2 | = 1. Les éléments ±x±y
√
2 sont aussi inversibles, et on va
suppposer x > 0 et y 0.
La suite de terme général (1 +
√
2) n est strictement croissante et tend vers
l’infini. Il existe donc un unique n ∈ N ∗ tel que :
(1 +
√
2)
n x + y
√
2 < (1 +
√
2)
n+1
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Algèbre générale