• Soit x ∈
√
I ∩
√
J . Il existe donc deux entiers m et n tels que x m ∈ I et
x n ∈ J.
D’après la définition d’un idéal, on en déduit que x m x n appartient à I et à J.
On a alors x m+n ∈ I ∩ J.
x est donc un élément de
√
I ∩ J , ce qui démontre :
√
I ∩
√
J ⊂
√
I ∩ J .
• Des deux inclusions précédentes, on conclut :
√
I ∩
√
J =
√
I ∩ J .
• On I ⊂ I + J et J ⊂ I + J car les sous-groupes additifs I et J contiennent 0.
Par conséquent :
√
I ⊂
√
I + J et
√
J ⊂
√
I + J ,
puis
√
I +
√
J ⊂
√
I + J puisque
√
I + J est un idéal, donc stable pour
l’addition.
4. Dans Z,
√
3648Z est constitué par les x ∈ Z tels qu’il existe une puissance x n qui soit multiple de 3648.
La décomposition de 3648 en facteurs premiers est : 3648 = 2 6 × 3 × 19 .
Pour qu’une puissance de x soit divisible par ces facteurs, il faut, et il suffit que x soit divisible par 2 × 3 × 19 = 114 .
On a donc :
√
3648Z = 114Z .
Exercice 1.8 : Anneau Z[
√
2]
1. Soit P = Z ∪ {
√
2}. Montrer que le sous-anneau de R engendré par P est :
A = {m + n
√
2 ; (m,n) ∈ Z
2
}.
2. Soit U l’ensemble des éléments inversibles de A. Vérifier que U est un sousgroupe.
3. On pose N
m + n
√
2
= |m 2 − 2n 2 |. Pour a et b éléments de A, calculer
N (ab).
Montrer que z ∈ U si, et seulement si, N (z) = 1.
4. Montrer que U =
±(1 +
√
2) n ; n ∈ Z
.
1. Le sous-anneau de R engendré par P est le plus petit (au sens de l’inclusion) anneau contenant Z et
√
2. ll contient donc toutes les sommes, et
leurs opposées, que l’on peut obtenir à partir de 1 et de
√
2, c’est-à-dire
tous les réels du type m + n
√
2 avec m ∈ Z et n ∈ Z.
Ces réels forment un ensemble A. Il reste à vérifier que c’est un sous-anneau
de R.
Soit a = m 1 + n 1
√
2 et b = m 2 + n 2
√
2 avec m 1 ,n 1 ,m 2 ,n 2 ∈ Z.
a − b = (m 1 − m 2 )+(n 1 − n 2 )
√
2 ∈ A car m 1 − n 1 ∈ Z et m 2 − n 2 ∈ Z
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Chapitre 1 • Algèbre générale