Rappelez vous la définition d’un idéal I d’un anneau commutatif A :
– pour l’addition, c’est un sous-groupe ;
– pour la multiplication, pour tous x ∈ I et a ∈ A, alors xa ∈ I.
Vous pouvez aussi remarquer que I ⊂
√
I (avec n = 1) ce qui assure que
√
I n’est
pas vide.
1. • Pour montrer que
√
I est un sous-groupe pour l’addition, considérons
deux éléments quelconques x et y de
√
I , et montrons que x − y ∈
√
I .
Il existe alors des entiers m et n tels que x n ∈ I et y m ∈ I.
Dans l’anneau commutatif A, nous pouvons utiliser la formule du binôme :
(x − y)
n+m
=
n+m
k=0
(−1)
n+m−k
n + m
k
x
k y
n+m−k
Nous allons prouver que cette somme appartient à I en prouvant que tous les termes
sont dans I car I est stable pour l’addition.
Il faut faire attention à ne pas introduire une puissance négative car x et y ne sont
pas supposés inversibles.
Pour 0 k n, on a : x k y n+m−k = y m (x k y n−k ) ∈ I car y m ∈ I.
Pour n k n + m, on a : x k y n+m−k = x n (x k−n y n+m−k ) ∈ I car
x n ∈ I.
Comme I est un sous-groupe pour l’addition, la somme de termes qui appartiennent tous à I appartient aussi à I.
On a donc (x − y) n+m ∈ I, ce qui démontre que x − y ∈
√
I .
• Soit x ∈
√
I et a ∈ A ; alors (xa) n = x n a n car l’anneau est commutatif.
Comme x n ∈ I, on a (xa) n ∈ I ce qui signifie que xa ∈
√
I .
•
√
I est donc un idéal de A.
2. • D’une façon générale, si I et J sont deux idéaux de A tels que I ⊂ J,
alors
√
I ⊂
√
J . En effet, si x ∈
√
I , il existe un entier n tel que x n ∈ I,
donc x n ∈ J si I ⊂ J.
Comme I ⊂
√
I , on en déduit donc que
√
I ⊂
√
I .
• Réciproquement, soit x ∈
√
I . Il existe alors un entier p tel que
x p ∈
√
I . Dans ce cas, il existe aussi un entier n tel que (x p ) n ∈ I. On a
donc x np ∈ I, soit x ∈ I.
• Avec deux inclusions, nous venons de démontrer que :
√
I =
√
I .
3. • De I ∩ J ⊂ I et I ∩ J ⊂ J, on déduit que
√
I ∩ J ⊂
√
I et
√
I ∩ J ⊂
√
J , d’où
√
I ∩ J ⊂
√
I ∩
√
J .
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Chapitre 1 • Algèbre générale