Il s’agit d’éléments de M 3 (R). La loi n’est pas précisée. Mais pour l’addition le groupe engendré serait l’ensemble des matrices p A + q B avec p ∈ Z et q ∈ Z. Il n’y
aurait donc aucun problème : c’est le produit de matrices qu’il faut considérer. Le
groupe dans lequel on se place est celui des matrices carrées inversibles d’ordre 3.
Le groupe engendré par A et B est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe
contenant les deux matrices. Il est constitué par tous les produits possibles avec A,
B et leurs inverses.
Remarquons que A et B sont bien inversibles puisque det A = −1 et det B = 1.
Le groupe G cherché contient A et B. Il contient aussi :
A 2 = I 3 , ce qui signifie que A −1 = A,
B 2 =


0 1 0
0 0 1
1 0 0

 , B 3 = I 3 , ce qui signifie que B −1 = B 2 ,
AB =


0 0 1
0 1 0
1 0 0

 , B A =


0 1 0
1 0 0
0 0 1

 = AB 2
Dans les séquences de produits qui constituent G, A −1 est remplacé par A,
B −1 par B 2 , B A par AB 2 .
Les éléments de G sont donc du type A p B q avec p ∈ {0,1} et q ∈ {0,1,2}.
On a donc :
G = {I 3 ,B,B
2
,A,AB,AB
2
} .
Remarque
A et B sont des matrices associées à des permutations des vecteurs de la base canonique (e 1 ,e 2 ,e 3 ) : A est associée à la transposition τ 2,3 , B au cycle (1,2,3).
Ces deux permutations engendrent S 3 , donc G est l’ensemble des 6 matrices de
permutation de la base (e 1 ,e 2 ,e 3 ).
Exercice 1.7 : Radical d’un idéal
Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. On appelle radical de I, et on
note
√
I , l’ensemble des x ∈ A pour lesquels il existe n ∈ N tel que x n ∈ I.
1. Démontrer que
√
I est un idéal de A.
2. Démontrer que
√
I =
√
I .
3. Si I et J sont deux idéaux de A, démontrer que :
√
I ∩ J =
√
I ∩
√
J et
√
I + J ⊃
√
I +
√
J .
4. Dans Z, trouver
√
3648Z.
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Chapitre 1 • Algèbre générale