On aboutit donc à une contradiction, et on conclut qu’il est impossible de
piper les deux dés pour que S soit répartie uniformément.
Exercice 1.5 : Retrouver la fraction rationnelle
Réduire sous la forme
A
B
la fraction rationnelle :
n−1
k=0
α
2
k
X − α k
où α k = exp
i
2kπ
n
.
Ce sujet est un oral sur le programme de première année.
Rappelez-vous que, si α est un pôle simple de F =
A
B
, la partie polaire associée est
a
X − α
avec a =
A(α)
B (α)
·
Les nombres complexes α k étant les racines n-ièmes de l’unité, on a :
B =
n−1
k=0
(X − α k ) = X
n
− 1 .
Comme chaque α k est un pôle simple de la fraction rationnelle, on a :
α
2
k =
A (α k )
B (α k )
,
d’où :
A (α k ) = α
2
k B
(α k ) = α
2
k n α
n−1
k
= n α k car α
n
k = 1.
Les α k constituent n racines distinctes du polynôme A − n X, dont le degré
est < n puisqu’il n’y a pas de partie entière. Par conséquent A − n X = 0.
On a donc :
n−1
k=0
α
2
k
X − α k
=
n X
X n − 1
·
Exercice 1.6 : Groupe engendré par deux éléments
Soit A =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
et B =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Quel est le groupe engendré par A et B ?
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 1 • Algèbre générale