• De la même manière :
L k (n + 1) =
n
j=0
j /
= k
n + 1 − j
k − j
=
(n + 1)!
n + 1 − k
×
1
k! × (−1) n−k (n − k)!
= (−1) n−k
n + 1
k
Donc : |P(n + 1)|
n
k=0
n + 1
k
= 2
n+1
− 1.
Exercice 1.4 : Dés pipés et polynômes
Peut-on piper deux dés pour que les sommes S obtenues en les lançant simultanément (2 S 12) soient équiprobables ?
Utiliser des polynômes.
Ce sujet est un oral sur le programme de première année.
La variable aléatoire X égale au résultat du premier dé prend pour valeurs
les entiers de 1 à 6 avec des probabilités p k = P(X = k).
La variable aléatoire X égale au résultat du deuxième dé prend pour valeurs
les entiers de 1 à 6 avec des probabilités q k = P(Y = k).
La somme S = X + Y prend pour valeurs les entiers de 2 à 12 avec des probabilités
P(S = k) =
6
i=1
p i q k−i .
Si l’on suppose que la distribution de S est équiprobable, ces probabilités
sont toutes égales à
1
11
·
Considérons, dans cette hypothèse, le produit de polynômes :
6
k=1
p k X
k−1
×
6
k=1
q k X
k−1
=
1
11
12
k=2
X
k−2
=
1
11
×
X 11 − 1
X − 1
Le polynôme Q = X 11 − 1 a 1 comme unique racine réelle. Le polynôme du
second membre n’a donc pas de racine réelle.
Le premier membre est le produit de deux polynômes de degré 5 et un polynôme de degré 5 a au moins une racine réelle.
6
Chapitre 1 • Algèbre générale