La condition obtenue entraîne alors que
z
3
1
2 =
−
2
5
q
2
.
Parmi les deux possibilités de choisir z 1 , il y en a toujours une qui vérifie
z
3
1 = −
2
5
q et on retrouve alors les conditions du problème.
Exercice 1.3 : Utilisation d’une base non canonique de R n [X]
Soit P ∈ R n [X] tel que : ∀x ∈ [0,n]
|P(x)| 1 .
Démontrer que : |P(−1)| 2 n+1 − 1 et |P(n + 1)| 2 n+1 − 1.
Ce sujet est un oral sur le programme de première année.
La solution la plus simple consiste à introduire une base de R n [X] formée de polynômes de Lagrange.
• Considérons la base de R n [X] formée par les polynômes de Lagrange
(L k ) 0kn associés aux entiers k de 0 à n, c’est-à-dire :
L k =
n
j=0
j /
= k
X − j
k − j
.
La décomposition d’un polynôme P dans cette base s’écrit :
P =
n
k=0
P(k)L k .
• Avec l’hypothèse faite sur P, on a donc : |P(−1)|
n
k=0
|L k (−1)| avec
L k (−1) =
n
j=0
j /
= k
−1 − j
k − j
= (−1) n ×
(n + 1)!
k + 1
×
1
k! × (−1) n−k (n − k)!
= (−1) k
n + 1
k + 1
Donc : |P(−1)|
n
k=0
n + 1
k + 1
= 2
n+1
− 1.
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Chapitre 1 • Algèbre générale