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Chapitre 1 • Algèbre générale
Ce sujet est un oral sur le programme de première année.
Remarquons d’abord que si p = q = 0, le triangle serait réduit à un point. C’est
donc un cas à éliminer.
Soit z 1 , z 2 , z 3 les racines de l’équation (1). Ces notations peuvent être choisies de sorte que le triangle soit rectangle en M 1 et qu’on passe de M 2 à
M 3 par la rotation de centre M 1 et d’angle
π
2
·
La condition géométrique se traduit donc par l’égalité :
z 3 − z 1 = i(z 2 − z 1 )
(A)
Par ailleurs, les relations entre coefficients et racines d’un polynôme permettent d’écrire : 
 
 
z 1 + z 2 + z 3 = 0
z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 = p
z 1 z 2 z 3 = −q
Les égalités (A) et (B) permettent de calculer z 2 et z 3 en fonction de z 1 :
iz 2 − z 3 = (−1 + i)z 1
z 2 + z 3 =
−z 1
⇐⇒

 
 
z 2 =
−1 + 3i
2
z 1
z 3 =
−1 − 3i
2
z 1
En reportant dans (C), on obtient :
z 1 (z 2 + z 3 ) + z 2 z 3 = p = −z
2
1 +
5
2
z
2
1 =
3
2
z
2
1
soit z
2
1 =
2
3
p.
En reportant dans (D), on obtient : z
3
1 = −
2
5
q .
Pour que les deux résultats obtenus pour z
2
1 et z
3
1 soient compatibles, il est
nécessaire que
2
3
p
3
=
−
2
5
q
2
, c’est-à-dire que p et q vérifie la
condition :
50 p
3
− 27q
2
= 0 .
Réciproquement, si p et q vérifient cette condition, on choisit d’abord z 1 tel
que z
2
1 =
2
3
p, ce qui est possible de deux façons correspondant à des
nombres opposés.
(B)
(C)
(D)