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Exercice 1.1 : Résolution d’un système
Déterminer les triplets (x,y,z) de C 3 , solutions du système :
(S)

  
  
x + y + z
= 1
x 2 + y 2 + z 2 = 9
1
x
+
1
y
+
1
z
= 1.
Ce sujet est un oral sur le programme de première année.
Le caractère symétrique par rapport aux inconnues doit vous faire penser aux relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme.
Posons σ 1 = x + y + z , σ 2 = x y + yz + zx et σ 3 = x yz.
Le triplet (x,y,z) ∈ C 3 vérifie le système (S) si, et seulement si :

  
  
σ 1
= 1
σ
2
1 − 2σ 2 = 9
σ 2
σ 3
= 1
⇐⇒



σ 1 = 1
σ 2 = −4
σ 3 = −4.
x, y et z sont les racines complexes du polynôme :
P = X 3 − σ 1 X 2 + σ 2 X − σ 3 = X 3 − X 2 − 4X + 4
= (X − 1) (X − 2) (X + 2).
Les triplets solutions sont donc :
(1,2,−2) ,(1,−2,2) ,(2,1,−2) ,(2,−2,1) ,(−2,1,2) ,(−2,2,1) .
Exercice 1.2 : Configuration géométrique
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les images des racines
complexes de l’équation :
z
3
+ pz + q = 0
(1)
soient les sommets d’un triangle rectangle isocèle.
Algèbre générale
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