Dans Z/nZ, un élément p est inversible si, et seulement si, n et p sont premiers
entre eux.
1. La rédaction de l’énoncé conduit à chercher x comme élément de Z/5Z.
Comme 5 est un nombre premier, Z/5Z est un corps, donc tout élément non
nul est inversible.
Diviser par 3, c’est multiplier par son inverse qui est égal à 2 puisque
3 × 2 = 1.
L’équation est donc équivalente à :
x + 4 = −2 = 3 , d’où : x = 3 − 4 = −1 = 4 .
2. Il s’agit de calculs dans Z/6Z qui n’est pas un corps puisque 6 n’est pas premier.
Il faudra donc distinguer les éléments inversibles et les autres.
La rédaction de l’énoncé conduit à chercher x comme élément de Z.
Dans Z/6Z, la première équation peut s’écrire : 5 x + 2 y = 1.
5 est inversible puisque 5 est premier avec 6, et son inverse est 5 puisque
5 × 5 = 1.
Cette équation est donc équivalente à : x + 4 y = 5,
soit x = −4 y + 5 = 2 y + 5 .
Reportons cette valeur de x dans la deuxième équation :
2 (2 y + 5) + 4 y = 2.
Après simplifications, il reste :
2 y = 4 .
Dans Z/6Z, 2 n’est pas inversible. Pour déterminer y , il faut donc essayer
les 6 valeurs de Z/6Z. On obtient ainsi deux possibilités y = 2 et y = 5.
Avec x = 2 y + 5 on détermine x .
Le système proposé a donc deux solutions dans Z/6Z :
x = 3 et y = 2 ; x = 3 et y = 5 ,
ce qui s’écrit dans Z :
x = 3 + 6k avec k ∈ Z
y = 2 + 6k avec k ∈ Z
ou
x = 3 + 6k avec k ∈ Z
y = 5 + 6k avec k ∈ Z
3. Les deux conditions conduisent à des calculs simultanés dans des anneaux différents.
Il est préférable de chercher les entiers x et y plutôt que leurs classes.
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Chapitre 1 • Algèbre générale