Par conséquent, nous avons
z
0
1
1 + x p dx =
z
0
+∞
n=0
(−1)
n x
pn dx
=
+∞
n=0
z
0
(−1)
n x
pn dx
=
+∞
n=0
(−1) n z pn+1
pn + 1
.
Le cours sur les séries entières permet de rédiger ceci de manière plus concise.
Il ne nous reste plus, à présent, qu'à faire tendre z vers 1.
Le membre de gauche ne pose pas de problème : en effet, la fonction
z →
z
0
1
1 + x p dx n'est autre que la primitive de x → 1/(1 + x p ) sur [0,1] nulle
en 0. Cette fonction est donc continue (et même dérivable, de dérivée
x → 1/(1 + x p ) ).
Pour calculer la limite du membre de droite, nous allons nous intéresser à la continuité de cette somme. C'est là qu'intervient la convergence uniforme démontrée à la
question précédente. Il faut simplement faire attention en rédigeant, la puissance de
z étant ici pn + 1 et non pn.
D'après la question précédente appliquée à la suite (a n ) n∈N =
(1/( pn + 1)) n∈N , qui est bien décroissante et de limite nulle, la série de
fonctions
(−1) n z pn /( pn + 1) converge uniformément sur [0,1]. En
outre, pour tout n ∈ N, la fonction z → (−1) n z pn /( pn + 1) est continue
sur [0,1]. On en déduit que la somme de cette série l'est encore. En multipliant par z, nous voyons donc que le membre de droite de la dernière égalité est une fonction continue de z pour z ∈ [0,1] .
Par conséquent, nous avons
lim
z→1
+∞
n=0
(−1) n z pn+1
pn + 1
=
+∞
n=0
(−1) n
pn + 1
.
En outre, la continuité de l'intégrale par rapport à sa borne supérieure assure que nous avons
lim
z→1
z
0
1
1 + x p dx =
1
0
1
1 + x p dx.
192
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
z
0
1
1 + x p dx =
z
0
+∞
n=0
(−1)
n x
pn dx
=
+∞
n=0
z
0
(−1)
n x
pn dx
=
+∞
n=0
(−1) n z pn+1
pn + 1
.
Le cours sur les séries entières permet de rédiger ceci de manière plus concise.
Il ne nous reste plus, à présent, qu'à faire tendre z vers 1.
Le membre de gauche ne pose pas de problème : en effet, la fonction
z →
z
0
1
1 + x p dx n'est autre que la primitive de x → 1/(1 + x p ) sur [0,1] nulle
en 0. Cette fonction est donc continue (et même dérivable, de dérivée
x → 1/(1 + x p ) ).
Pour calculer la limite du membre de droite, nous allons nous intéresser à la continuité de cette somme. C'est là qu'intervient la convergence uniforme démontrée à la
question précédente. Il faut simplement faire attention en rédigeant, la puissance de
z étant ici pn + 1 et non pn.
D'après la question précédente appliquée à la suite (a n ) n∈N =
(1/( pn + 1)) n∈N , qui est bien décroissante et de limite nulle, la série de
fonctions
(−1) n z pn /( pn + 1) converge uniformément sur [0,1]. En
outre, pour tout n ∈ N, la fonction z → (−1) n z pn /( pn + 1) est continue
sur [0,1]. On en déduit que la somme de cette série l'est encore. En multipliant par z, nous voyons donc que le membre de droite de la dernière égalité est une fonction continue de z pour z ∈ [0,1] .
Par conséquent, nous avons
lim
z→1
+∞
n=0
(−1) n z pn+1
pn + 1
=
+∞
n=0
(−1) n
pn + 1
.
En outre, la continuité de l'intégrale par rapport à sa borne supérieure assure que nous avons
lim
z→1
z
0
1
1 + x p dx =
1
0
1
1 + x p dx.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions