3. L'énoncé nous suggère de faire intervenir une intégrale. Nous pouvons espérer
qu'ensuite, le résultat de convergence uniforme démontré à la question précédente
nous permettra d'échanger somme et intégrale. En effet, lorsqu'une série converge
uniformément sur un segment, on peut intervertir intégrale et somme. Nous pouvons donc commencer par écrire le terme général de la série comme une intégrale.
Pour tout n ∈ N nous avons
(−1) n
pn + 1
=
1
0
(−1)
n x
pn dx.
L'idée est ensuite de permuter somme et intégrale. Nous allons donc introduire la
série de fonctions
(−1) n x pn . Nous voyons tout de suite qu'il y a un problème :
cette série est bien convergente pour x ∈ [0,1[ (de somme 1/(1 + x p )) mais diverge
pour x = 1. Ceci explique pourquoi l'énoncé suggère de raisonner en s'écartant
de 1.
Posons
g : [0,1] →
R
x
→
1
1 + x p
et, pour n ∈ N, posons
g n : [0,1] →
R
x
→ (−1) n x pn .
Nous ne sommes pas ici dans un cas d'application directe de la question précédente.
En effet, la suite de fonctions considérée ici correspond à la suite (a n ) n∈N constante
égale à 1 et cette dernière ne satisfait pas les conditions de l'énoncé (elle ne tend pas
vers 0). D'ailleurs, la série ne risque pas de converger uniformément sur le segment
[0,1] puisque, comme nous l'avons remarqué plus haut, elle diverge en 1 !
Nous devrons donc procéder d'une manière. L'indication nous invite à intégrer
d'abord sur des intervalles de la forme [0,z], avec z < 1. Nous allons donc chercher
à démontrer la convergence uniforme de la série
g n sur [0,z].
Soit z ∈ [0,1[ . Pour tout n ∈ N, nous avons
g n ∞,[0,z] = z
pn
,
qui est le terme général d'une série convergente, car |z| < 1. On en déduit
que la série
g n converge normalement vers g sur [0,z].
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
191
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
qu'ensuite, le résultat de convergence uniforme démontré à la question précédente
nous permettra d'échanger somme et intégrale. En effet, lorsqu'une série converge
uniformément sur un segment, on peut intervertir intégrale et somme. Nous pouvons donc commencer par écrire le terme général de la série comme une intégrale.
Pour tout n ∈ N nous avons
(−1) n
pn + 1
=
1
0
(−1)
n x
pn dx.
L'idée est ensuite de permuter somme et intégrale. Nous allons donc introduire la
série de fonctions
(−1) n x pn . Nous voyons tout de suite qu'il y a un problème :
cette série est bien convergente pour x ∈ [0,1[ (de somme 1/(1 + x p )) mais diverge
pour x = 1. Ceci explique pourquoi l'énoncé suggère de raisonner en s'écartant
de 1.
Posons
g : [0,1] →
R
x
→
1
1 + x p
et, pour n ∈ N, posons
g n : [0,1] →
R
x
→ (−1) n x pn .
Nous ne sommes pas ici dans un cas d'application directe de la question précédente.
En effet, la suite de fonctions considérée ici correspond à la suite (a n ) n∈N constante
égale à 1 et cette dernière ne satisfait pas les conditions de l'énoncé (elle ne tend pas
vers 0). D'ailleurs, la série ne risque pas de converger uniformément sur le segment
[0,1] puisque, comme nous l'avons remarqué plus haut, elle diverge en 1 !
Nous devrons donc procéder d'une manière. L'indication nous invite à intégrer
d'abord sur des intervalles de la forme [0,z], avec z < 1. Nous allons donc chercher
à démontrer la convergence uniforme de la série
g n sur [0,z].
Soit z ∈ [0,1[ . Pour tout n ∈ N, nous avons
g n ∞,[0,z] = z
pn
,
qui est le terme général d'une série convergente, car |z| < 1. On en déduit
que la série
g n converge normalement vers g sur [0,z].
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions