La suite (a n ) n∈N est une suite réelle décroissante tendant vers 0. Par conséquent, tous ses termes sont positifs.
Soit x ∈ [0,1] . Puisque x 0, pour tout n ∈ N, le réel
f n (x) = (−1) n a n x pn est du signe de (−1) n . On en déduit que la série
f n (x) est alternée.
Puisque x ∈ [0,1], la suite (x pn ) n∈N est décroissante. Par hypothèse, la
suite (a n ) n∈N est également décroissante. Le produit de deux suites positives décroissantes est également décroissant donc (a n x pn ) n∈N =
(| f n (x)|) n∈N est décroissante.
Puisque |x| 1, nous avons
∀n ∈ N, | f n (x)| a n .
On en déduit que la suite ( f n (x)) n∈N tend vers 0.
Nous pouvons en conclure, d'après le critère spécial des séries alternées, que
la série
f n (x) converge. Nous noterons f (x) sa limite.
À présent, nous allons chercher à montrer que la série
f n converge uniformément
vers la fonction f sur [0,1]. Nous devons donc montrer que
f −
N
n=0
f n
∞,[0,1]
−−−→
N →+∞
0.
Puisque f n'est autre que la somme de la série
n0 f n , nous pouvons écrire la différence à évaluer sous une autre forme, celle d'un reste :
∀x ∈ [0,1],∀N ∈ N, f (x) −
N
n=0
f n (x) =
+∞
n=N +1
f n (x).
Nous savons que le critère spécial des séries alternées fournit justement une majoration du reste ; nous allons l'utiliser.
Soit x ∈ [0,1]. Le critère spécial des séries alternées assure que, pour tout
N ∈ N, nous avons
f (x) −
N
n=0
f n (x)
=
+∞
n=N +1
f n (x)
| f N +1 (x)| a N +1 ,
car a N +1 0 et |x| 1.
Par conséquent, pour tout N ∈ N, nous avons
f −
N
n=0
f n
∞,[0,1]
a N +1 −−−→
N →+∞
0.
Nous en déduisons que la série
f n converge uniformément vers f sur [0,1].
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions