Indication : dans un premier temps, faire intervenir une intégrale entre 0 et z pour
z ∈ [0,1[ , puis justifier le passage à la limite z → 1.
Notons que (a n ) n∈N étant décroissante et de limite nulle, elle est à valeurs positives.
1. Soit n ∈ N. On se convainc aisément que la norme uniforme de la fonction f n sur
[0,1] est a n . Par conséquent, il suffit de trouver une suite (a n ) n∈N décroissante tendant vers 0 telle que la série
a n diverge. La suite (1/(n + 1)) n∈N satisfait toutes
ces conditions (le décalage d'indice n'est présent que pour que la suite soit bien définie à partir du rang n = 0).
Pour n ∈ N, posons
a n =
1
n + 1
.
La suite (a n ) n∈N est à valeurs réelles, décroissante et tend vers 0.
Soit n ∈ N. Nous avons
∀x ∈ [0,1], | f n (x)| =
(−1) n
n + 1
x
pn
1
n + 1
,
car |x| 1. En outre, nous avons
| f n (1)| =
(−1) n
n + 1
=
1
n + 1
et, par conséquent,
f n ∞,[0,1] =
1
n + 1
.
La série
n0
f n ∞,[0,1] =
n0
1
n + 1
diverge. Autrement dit, la série
f n ne converge pas normalement sur
[0,1].
2. Nous savons que toute série de fonctions normalement convergente est uniformément convergente, ce qui est souvent un moyen simple de montrer la convergence uniforme d'une série de fonctions. Cependant, ici, la question précédente
montre que nous ne pourrons pas utiliser ce procédé. Nous allons donc revenir à la
définition de la convergence uniforme.
Dans un premier temps, nous allons démontrer la convergence simple de la série
f n . Sa forme nous invite à utiliser le critère spécial des séries alternées. C'est le
même argument qu'à l'exercice 6.3.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions