On en déduit que la série
+∞
0
|g n | converge.
Par conséquent, la fonction g est intégrable sur ]0,+∞[ et nous avons
+∞
0
g(x) dx =
+∞
n=0
+∞
0
g n (x) dx.
Il nous reste donc à calculer la valeur de
+∞
n=0
+∞
0
g n (x) dx = 2
+∞
n=0
1
(2n + 1) 2 .
L'énoncé nous fournit la valeur de
+∞
n=1
1
n 2 . Nous allons donc nous ramener à cette
dernière.
Étant donné N ∈ N ∗ nous avons
N
n=0
1
(2n + 1) 2 =
2N +1
n=1
1
n 2 −
N
n=1
1
(2n) 2
=
2N +1
n=1
1
n 2 −
1
4
N
n=1
1
n 2
soit, quand N tend vers +∞ :
+∞
n=0
1
(2n + 1) 2 =
3
4
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
8
.
Finalement, nous obtenons
+∞
0
x
sh(x)
dx = 2
+∞
n=0
1
(2n + 1) 2 =
π 2
4
.
Exercice 6.7 : Intégration et convergence uniforme
Soit (a n ) n∈N une suite réelle décroissante tendant vers 0. On fixe p ∈ N ∗ et on
pose, pour n ∈ N et x ∈ [0,1], f n (x) = (−1) n a n x pn .
1. Donner un exemple de suite (a n ) n∈N telle que la série
f n ne converge pas
normalement sur [0,1].
2. Démontrer que la série
f n converge uniformément sur [0,1].
3. En déduire une expression de
+∞
n=0
(−1) n
pn + 1
à l'aide d'une intégrale.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions