Pour tout x ∈ R ∗
+ , nous avons
x
sh(x)
=
2x
e x − e −x
=
2xe −x
1 − e −2x
= 2xe
−x
+∞
n=0
e
−2nx
=
+∞
n=0
2xe
−(2n+1)x
.
Nous avons maintenant trouvé le développement en série recherché. Il ne nous reste
plus qu'à appliquer le théorème du cours (sans oublier d'en vérifier explicitement les
hypothèses !) afin d'inverser somme et intégrale.
Pour tout n ∈ N la fonction
g n : ]0,+∞[ →
R
x
→ 2xe
−(2n+1)x
est continue sur l'intervalle ]0,+∞[ et intégrable (elle se prolonge par
continuité en 0 et est négligeable devant 1/x 2 au voisinage de +∞).
La série
g n converge simplement sur ]0,+∞[ vers la fonction g, qui est
continue sur cet intervalle.
Soit n ∈ N. Soit (a,b) ∈ R 2 vérifiant 0 < a < b. Calculons l'intégrale de
|g n | = g n sur le segment [a,b] par une intégration par parties. Nous dériverons la fonction x → 2x en x → 2 et intégrerons la fonction
x → e −(2n+1)x en x → −e −(2n+1)x /(2n + 1). Nous obtenons
b
a
2xe
−(2n+1)x dx =
−2x
e −(2n+1)x
2n + 1
b
a
+
b
a
2
e −(2n+1)x
2n + 1
dx
=
−2x
e −(2n+1)x
2n + 1
b
a
+
−2
e −(2n+1)x
(2n + 1) 2
b
a
= −2b
e −(2n+1)b
2n + 1
+ 2a
e −(2n+1)a
2n + 1
−2
e −(2n+1)b
(2n + 1) 2 + 2
e −(2n+1)a
(2n + 1) 2 .
En faisant tendre a vers 0 et b vers +∞, nous obtenons
+∞
0
g n (x) dx =
2
(2n + 1) 2 .
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions