Finalement, nous obtenons
1
0
ln(x)
x − 1
dx =
+∞
n=0
1
0
−ln(x)x
n dx
=
+∞
n=0
1
(n + 1) 2
=
+∞
n=1
1
n 2
=
π 2
6
.
En effectuant le changement de variable u = 1 − x on voit que
I = −
1
0
ln(1 − u)
u
du . Nous aurions pu alors utiliser le développement en série
entière de ln(1 − u) pour conclure par un raisonnement en tout point analogue.
2. Nous allons procéder ici de la même façon que pour la question précédente. Pour
commencer, il suffit de vérifier que la fonction intégrée est bien continue par morceaux, l'intégrabilité étant une conséquence du théorème d'intervertion série/intégrale.
La fonction
g : ]0,+∞[ →
R
x
→
x
sh(x)
est continue sur l'intervalle ]0,+∞[.
Comme pour calculer précédemment l'intégrale I, nous allons chercher à faire intervenir des séries de fonctions. Ici, la situation n'est pas aussi simple. Notons tout
d'abord qu'un développement en somme de série entière est inutile si on cherche à
permuter série et intégrale sur un intervalle non majoré comme R + : nous obtiendrions en effet une expression de la forme
+∞
0
a n x n dx et les intégrales sont
divergentes si a n = / 0. De toutes façons, développer g en série entière n'a rien d'évident.
Nous allons plutôt faire apparaître une série géométrique à l'aide de l'exponentielle
apparaissant dans la définition du sinus hyperbolique.
186
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
1
0
ln(x)
x − 1
dx =
+∞
n=0
1
0
−ln(x)x
n dx
=
+∞
n=0
1
(n + 1) 2
=
+∞
n=1
1
n 2
=
π 2
6
.
En effectuant le changement de variable u = 1 − x on voit que
I = −
1
0
ln(1 − u)
u
du . Nous aurions pu alors utiliser le développement en série
entière de ln(1 − u) pour conclure par un raisonnement en tout point analogue.
2. Nous allons procéder ici de la même façon que pour la question précédente. Pour
commencer, il suffit de vérifier que la fonction intégrée est bien continue par morceaux, l'intégrabilité étant une conséquence du théorème d'intervertion série/intégrale.
La fonction
g : ]0,+∞[ →
R
x
→
x
sh(x)
est continue sur l'intervalle ]0,+∞[.
Comme pour calculer précédemment l'intégrale I, nous allons chercher à faire intervenir des séries de fonctions. Ici, la situation n'est pas aussi simple. Notons tout
d'abord qu'un développement en somme de série entière est inutile si on cherche à
permuter série et intégrale sur un intervalle non majoré comme R + : nous obtiendrions en effet une expression de la forme
+∞
0
a n x n dx et les intégrales sont
divergentes si a n = / 0. De toutes façons, développer g en série entière n'a rien d'évident.
Nous allons plutôt faire apparaître une série géométrique à l'aide de l'exponentielle
apparaissant dans la définition du sinus hyperbolique.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions