Pour tout n ∈ N, la fonction
f n : ]0,1[ →
R
x
→ −ln(x)x
n
est continue sur l'intervalle ]0,1[ et intégrable (si n 1 elle possède des
limites finies en 0 et 1 ; si n = 0, c'est la fonction −ln qu'on sait être intégrable sur cet intervalle).
La série
f n converge simplement sur ]0,1[ vers la fonction f, qui est
continue sur cet intervalle.
Nous devons maintenant calculer l'intégrale de la fonction | f n | pour tout n.
Remarquons déjà que, f n étant positive, | f n | = f n . Nous voudrions éliminer le logarithme à l'aide d'une intégration par parties. Nous ne pouvons pas l'effectuer directement sur l'intervalle ]0,1[, mais devrons commencer par des sous-segments dont
nous ferons tendre la borne inférieure vers 0 et la borne supérieure vers 1.
Soit n ∈ N. Soit (a,b) ∈ R 2 vérifiant 0 < a < b < 1. Calculons l'intégrale
de | f n | = f n sur le segment [a,b] par une intégration par parties. Nous
dériverons la fonction x → −ln(x) en x → −1/x et intégrerons la fonction x → x n en x → x n+1 /(n + 1). Nous obtenons
b
a
−ln(x)x
n dx =
−ln(x)
x n+1
n + 1
b
a
+
b
a
x n
n + 1
dx
=
−ln(x)
x n+1
n + 1
b
a
+
x n+1
(n + 1) 2
b
a
= −ln(b)
b n+1
n + 1
+ ln(a)
a n+1
n + 1
+
b n+1
(n + 1) 2 −
a n+1
(n + 1) 2 .
En faisant tendre a vers 0 et b vers 1, nous obtenons
1
0
f n (x) dx =
1
(n + 1) 2 .
On en déduit que la série
1
0 | f n | converge.
Par conséquent, la fonction f est intégrable sur ]0,1[ et nous avons
1
0
f (x) dx =
+∞
n=0
1
0
f n (x) dx.
Remarquons que nous venons de redémontrer l'intégrabilité de la fonction f que
nous avions prouvée au début de l'exercice. Il ne nous reste plus maintenant qu'à
conclure.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions