1. Il ne faut pas oublier de démontrer que l'intégrale I est bien définie.
La fonction
f : ]0,1[ →
R
x
→
ln(x)
x − 1
est continue sur l'intervalle ]0,1[.
Au voisinage de 0, nous avons
ln(x)
x − 1
∼ −ln(x).
Par conséquent, la fonction f est intégrable au voisinage de 0.
Etudions l'intégrabilité de la fonction f au voisinage de 1. Posons
y = 1 − x . Lorsque x tend vers 1, y tend vers 0. Nous avons
ln(x)
x − 1
=
ln(1 − y)
−y
−−→
y→0
1.
Par conséquent, la fonction f est intégrable au voisinage de 1. L'intégrale I
est donc bien définie.
L'énoncé suggère de faire apparaître des séries de fonctions. Nous allons utiliser le
développement simple et classique de la fonction x → 1/(1 − x) puis essayer d'intervertir intégrale et somme. Rappelons l'énoncé du théorème d'interversion
série/intégrale :
soit (g n ) n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalle I de R. Supposons que
i) pour tout n ∈ N, la fonction g n est continue par morceaux et intégrable sur I ;
ii) la série
g n converge simplement sur I vers une fonction continue par morceaux g ;
iii) la série
I |g n | converge.
Alors la fonction g est intégrable sur I et nous avons
I
g(x) dx =
+∞
n=0
I
g n (x) dx.
Pour tout x ∈]0,1[, nous avons
ln(x)
x − 1
=
+∞
n=0
−ln(x)x
n
.
184
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions