Dans tous les cas, nous avons
∀x ∈ R
∗
+ ,
S(x)
x
.
Pour tout n 1, la fonction f n est positive. Par conséquent, nous avons
∀N ∈ N
∗
,∀x ∈ R
∗
+ ,
N
n=1
1
n(1 + n x 2 )
+∞
n=1
1
n(1 + n x 2 )
=
S(x)
x
.
En considérant la limite quand x tend vers 0, il vient
∀N ∈ N
∗
,
N
n=1
1
n
.
Or on sait que le membre de gauche est une somme partielle d'une série à
termes positif qui diverge ; il tend donc vers +∞ lorsque N tend vers +∞.
On en déduit que
= +∞.
Par conséquent, la quantité
S(x) − S(0)
x − 0
=
S(x)
x
ne possède pas de limite finie lorsque x tend vers 0. On en déduit que la
fonction S n'est pas dérivable en 0. Plus précisément, le fait que S(x)/x
tende vers +∞ en 0 nous assure que la courbe représentative de S possède
une demi-tangente verticale en ce point.
Exercice 6.6 : Calcul d'intégrales à l'aide de séries de fonctions
En faisant apparaître des séries de fonctions calculer les deux intégrales suivantes :
1.
I =
1
0
ln(x)
x − 1
dx
2.
J =
+∞
0
x
sh(x)
dx
On donne
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
.
Le calcul de la somme de la série donnée dans l'énoncé est effectué dans l'exercice
8.1.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions