2. Pour tout n 1, la fonction f n est de classe C 1 sur R ∗
+ . Pour démontrer que la
fonction S l'est aussi, étudions la convergence normale de la série
f
n sur R ∗
+ .
Nous avons
∀n ∈ N
∗
, f
n (x) =
1 − nx 2
n(1 + nx 2 ) 2 .
Le meilleur majorant de | f
n | sur R ∗
+ est 1/n (c'est sa limite en 0), mais la série de
terme général 1/n diverge. Nous allons donc chercher à majorer | f
n | sur tout segment contenu dans R ∗
+ plutôt que sur R ∗
+ tout entier.
Pour tout n ∈ N ∗ la fonction f n est de classe C 1 sur R ∗
+ . Soit (a,b) ∈ (R ∗
+ ) 2
vérifiant a < b. Pour tout x ∈ [a,b], nous avons
| f
n (x)| =
1 − nx 2
n(1 + nx 2 ) 2
1 + n x 2
n(1 + n x 2 ) 2
1
n(1 + n x 2 )
1
(an) 2
car 1 + nx 2 na 2 . La série de terme général 1/(an) 2 converge. Par conséquent, la série
f
n converge normalement sur [a,b].
Nous avons donc montré que la série
f
n converge normalement sur tout
segment contenu dans R ∗
+ . On en déduit que la fonction S l'est également.
3. Ainsi que l'énoncé le suggère, nous allons commencer par démontrer que la fonction S(x)/x possède une limite en 0 dans R. C'est typiquement le genre de résultat
que l'on peut obtenir en utilisant le théorème de la limite monotone.
La fonction x → S(x)/x, définie sur R ∗
+ , est somme d'une série de fonctions décroissantes ; elle est donc également décroissante. Par conséquent,
elle possède une limite en 0 qui est soit sa borne supérieure, si elle est
majorée, soit +∞.
Nous cherchons à démontrer que la fonction S n'est pas dérivable en 0, et donc que la
fonction x → S(x)/x ne converge pas en 0. D'après ce qui précède, cela revient à
montrer que = +∞. Notons que l'argument de monotonie précédent nous donne en
plus le résultat suivant : , qu'il soit fini ou non, majore toutes les valeurs de S(x)/x.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions