3. Montrer que S n'est pas dérivable en 0. On pourra commencer par montrer que
S(x)/x possède une limite dans R quand x tend vers 0.
1. Pour démontrer la continuité de la somme de la série nous allons utiliser la
convergence normale de la série sur R + ou, à défaut, sur tout segment. Rappelons
que la convergence normale (éventuellement sur tout segment) entraîne la convergence simple et que ceci permet de montrer d'un seul coup que la fonction est bien
définie et continue.
Soit n ∈ N ∗ . Posons
f n : R + →
R
x →
x
n(1 + nx 2 )
.
La fonction f n est dérivable sur R + et nous avons
∀x ∈ R + , f
n (x) =
1
n
1 + nx 2 − x(2nx)
(1 + nx 2 ) 2
=
1 − nx 2
n(1 + nx 2 ) 2 .
On en déduit que la fonction f n est croissante sur [0,1/
√
n] et décroissante
sur [1/
√
n,+∞[. De plus, f n (0) = 0 = lim
x→+∞
f n (x). On en déduit que
∀x ∈ R + , 0 f n (x) f n
1
√
n
.
Par conséquent, nous avons
∀x ∈ R + , | f n (x)| f n
1
√
n
=
1
2n
√
n
.
La série
1/(n
√
n) converge (série de Riemann). On en déduit que la série
f n converge normalement sur R + . En particulier, elle converge simplement sur R + et sa somme, la fonction S, est bien définie.
En outre, pour tout n 1, la fonction f n est continue sur R + . La convergence normale sur R + de la série
f n assure que sa somme S est également continue sur R + .
Ici nous sommes parvenus à majorer | f n | sur tout son intervalle de définition et
avons ainsi obtenu la convergence normale sur R + . Nous verrons dans la suite que
parfois il faut se restreindre à des majorations sur tout segment plutôt que sur tout
l'intervalle.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions