Ceci suffit pour tracer l'allure du graphe de ζ. Cependant, nous avons un résultat
plus précis sur son comportement au voisinage de 1. En effet, pour tout réel x > 1 :
1
x − 1
ζ(x) 1 +
1
x − 1
.
Nous pouvons donc tracer les représentations graphiques des fonctions
x → 1/(x − 1) et x → 1 + 1/(x − 1) : la représentation graphique de ζ doit se
trouver entre ces deux courbes. Elles sont représentées en pointillés sur la figure suivante, ainsi que l'asymptote horizontale d'équation y = 1. Une fois tous ces éléments connus, on voit qu'il n'y a presque plus de choix pour tracer la courbe !
180
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
0
1
2
3
0
1
2
3
y =
1
x − 1
y = 1 +
1
x − 1
y = 1
y = ζ(x)
x = 1
Pour améliorer le tracé, nous pouvons utiliser des points particuliers. Les valeurs
prises par la fonction ζ ne sont pas aisées à calculer mais certaines sont néanmoins
connues et classiques (elles peuvent être calculées à l'aide des séries de Fourier,
cf. l'exercice 8.1). Par exemple, nous avons
ζ(2) =
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
1,64 et ζ(4) =
+∞
n=1
1
n 4 =
π 4
90
1,08.
Exercice 6.5 : Régularité d'une série de fonctions
Pour x ∈ R + on pose S(x) =
+∞
n=1
x
n(1 + nx 2 )
.
1. Montrer que la fonction S est bien définie et continue sur R + .
2. Montrer que S est de classe C 1 sur R ∗
+ .
plus précis sur son comportement au voisinage de 1. En effet, pour tout réel x > 1 :
1
x − 1
ζ(x) 1 +
1
x − 1
.
Nous pouvons donc tracer les représentations graphiques des fonctions
x → 1/(x − 1) et x → 1 + 1/(x − 1) : la représentation graphique de ζ doit se
trouver entre ces deux courbes. Elles sont représentées en pointillés sur la figure suivante, ainsi que l'asymptote horizontale d'équation y = 1. Une fois tous ces éléments connus, on voit qu'il n'y a presque plus de choix pour tracer la courbe !
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
0
1
2
3
0
1
2
3
y =
1
x − 1
y = 1 +
1
x − 1
y = 1
y = ζ(x)
x = 1
Pour améliorer le tracé, nous pouvons utiliser des points particuliers. Les valeurs
prises par la fonction ζ ne sont pas aisées à calculer mais certaines sont néanmoins
connues et classiques (elles peuvent être calculées à l'aide des séries de Fourier,
cf. l'exercice 8.1). Par exemple, nous avons
ζ(2) =
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
1,64 et ζ(4) =
+∞
n=1
1
n 4 =
π 4
90
1,08.
Exercice 6.5 : Régularité d'une série de fonctions
Pour x ∈ R + on pose S(x) =
+∞
n=1
x
n(1 + nx 2 )
.
1. Montrer que la fonction S est bien définie et continue sur R + .
2. Montrer que S est de classe C 1 sur R ∗
+ .