Soit N 2. En sommant de n = 2 à n = N, nous obtenons
N
n=1
1
n x = 1 +
N
n=2
1
n x 1 +
N
1
1
t x dt.
Le même calcul que précédemment montre que
1 +
N
1
1
t x dt = 1 +
N 1−x − 1
1 − x
.
• Résumons : pour tout réel x ∈]1,+∞[ et tout entier N 2, nous avons
obtenu l'encadrement
(N + 1) 1−x − 1
1 − x
N
n=1
1
n x 1 +
N 1−x − 1
1 − x
.
En faisant tendre N vers +∞, nous obtenons
1
x − 1
ζ(x) 1 +
1
x − 1
.
La technique d'encadrement par des intégrales nous fournit donc un résultat assez
précis. À partir de celui-ci, nous pouvons deviner un équivalent de ζ(x) quand x
tend vers 1 : ce sera 1/(x − 1) .
En multipliant cette inégalité par x − 1 > 0 nous obtenons
1 (x − 1)ζ(x) x.
On en déduit
lim
x→1
(x − 1)ζ(x) = 1
et donc
ζ(x) ∼
1
x − 1
quand x tend vers 1.
4. Les questions qui précèdent nous permettent de nous faire une idée assez fidèle
du graphe de la fonction ζ. Récapitulons : nous savons que la fonction ζ est de
classe C ∞ , strictement décroissante et convexe, d'après la question 1. Nous savons
également, d'après la question 2, qu'elle tend vers 1 en +∞ et donc que sa courbe
possède une asymptote horizontale d'équation y = 1. Pour finir, nous savons,
d'après la question 3, qu'elle tend vers +∞ en 1. Sa courbe possède donc une
asymptote verticale d'équation x = 1.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
179
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions