En outre, pour tout réel x 2, | f n (x)| 1/n 2 . Ainsi, pour tout entier
n 1, || f n || ∞,[2,+∞[ 1/n 2 . Ceci montre que la série
f n converge
normalement sur [2,+∞[.
On en déduit
lim
x→+∞
ζ(x) = 1 +
+∞
n=2
0 = 1.
3. L'énoncé nous indique ici la méthode à utiliser. Rappelons que l'encadrement par
des intégrales permet, par exemple, de déterminer la nature des séries de Riemann.
Nous allons encadrer le terme général de la série par des intégrales pour en déduire
un encadrement de ζ.
• Commençons par déterminer un minorant des sommes partielles de la série
f n . Fixons x ∈]1,+∞[.
Soit n 1. Nous avons
∀t ∈ [n,n + 1],
1
n x
1
t x
et donc, en intégrant sur le segment [n,n + 1],
1
n x
n+1
n
1
t x dt.
Soit N ∈ N ∗ . En sommant de n = 1 à n = N, nous obtenons
N
n=1
1
n x
N
n=1
n+1
n
1
t x dt =
N +1
1
1
t x dt.
Calculons cette dernière intégrale :
N +1
1
1
t x dt =
t 1−x
1 − x
N +1
1
=
(N + 1) 1−x − 1
1 − x
.
• Déterminons, à présent, un majorant de ces sommes partielles. Soit
x ∈]1,+∞[. Pour tout entier n 2 nous avons
∀t ∈ [n − 1,n],
1
n x
1
t x
et donc, en intégrant sur le segment [n − 1,n],
1
n x
n
n−1
1
t x dt.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions