D'après la question précédente, nous avons
∀x ∈]1,+∞[, ζ
(x) =
+∞
n=1
ln(n) 2
n x .
Soit x ∈]1,+∞[. Pour tout n 1, nous avons ln(n) 2 /n x 0 et donc
ζ
(x) 0.
Par conséquent, la fonction ζ est convexe sur ]1,+∞[.
Nous aurions également pu utiliser le fait que chacune des fonctions
x → −ln(n)/n x est croissante. Cela assure que leur somme ζ est croissante et
donc que la fonction ζ est convexe.
2. Nous voulons ici montrer que la fonction ζ possède une limite quand x tend vers
+∞ et la calculer. Il s'agit donc visiblement d'intervertir une limite et une série.
Rappelons l'énoncé du théorème permettant cette opération.
Soit
g n une série de fonctions qui converge simplement sur un intervalle I de R.
Soit a un point de I ou une extrémité de I. Supposons que, pour tout n ∈ N, la fonction g n possède une limite finie n en a. Supposons, enfin, que la série
g n
converge normalement sur I. Alors la série numérique
n converge absolument,
la fonction g =
+∞
n=0
g n possède une limite finie en a et nous avons
lim
x→a
g(x) =
+∞
n=0
n .
De plus, l'hypothèse de convergence normale sur I peut être remplacée par la
convergence normale sur un voisinage de a. Par exemple, pour une limite en +∞,
on peut se contenter de la convergence normale sur un sous-intervalle non majoré
de I quelconque.
Comme nous l'avons vu au début de l'exercice, la série de fonctions définissant ζ
n'est pas normalement convergente sur ]1,+∞[ mais l'est sur tout segment. Par un
raisonnement analogue, nous pouvons voir qu'elle est normalement convergente sur
[2,+∞[, ce qui assurera la possibilité d'intervertir limite en +∞ et somme.
Pour tout n ∈ N ∗ , la fonction f n possède une limite finie en +∞.
Précisément, nous avons
lim
x→+∞
f 1 (x) = 1
et
∀n 2, lim
x→+∞
f n (x) = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
177
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
∀x ∈]1,+∞[, ζ
(x) =
+∞
n=1
ln(n) 2
n x .
Soit x ∈]1,+∞[. Pour tout n 1, nous avons ln(n) 2 /n x 0 et donc
ζ
(x) 0.
Par conséquent, la fonction ζ est convexe sur ]1,+∞[.
Nous aurions également pu utiliser le fait que chacune des fonctions
x → −ln(n)/n x est croissante. Cela assure que leur somme ζ est croissante et
donc que la fonction ζ est convexe.
2. Nous voulons ici montrer que la fonction ζ possède une limite quand x tend vers
+∞ et la calculer. Il s'agit donc visiblement d'intervertir une limite et une série.
Rappelons l'énoncé du théorème permettant cette opération.
Soit
g n une série de fonctions qui converge simplement sur un intervalle I de R.
Soit a un point de I ou une extrémité de I. Supposons que, pour tout n ∈ N, la fonction g n possède une limite finie n en a. Supposons, enfin, que la série
g n
converge normalement sur I. Alors la série numérique
n converge absolument,
la fonction g =
+∞
n=0
g n possède une limite finie en a et nous avons
lim
x→a
g(x) =
+∞
n=0
n .
De plus, l'hypothèse de convergence normale sur I peut être remplacée par la
convergence normale sur un voisinage de a. Par exemple, pour une limite en +∞,
on peut se contenter de la convergence normale sur un sous-intervalle non majoré
de I quelconque.
Comme nous l'avons vu au début de l'exercice, la série de fonctions définissant ζ
n'est pas normalement convergente sur ]1,+∞[ mais l'est sur tout segment. Par un
raisonnement analogue, nous pouvons voir qu'elle est normalement convergente sur
[2,+∞[, ce qui assurera la possibilité d'intervertir limite en +∞ et somme.
Pour tout n ∈ N ∗ , la fonction f n possède une limite finie en +∞.
Précisément, nous avons
lim
x→+∞
f 1 (x) = 1
et
∀n 2, lim
x→+∞
f n (x) = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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