Soit (a,b) ∈ R 2 vérifiant 1 < a < b. Pour tout n ∈ N ∗ , nous avons
∀x ∈ [a,b], |g
n (x)|
ln(n) p+1
n a .
Soit a ∈]1,a[ . Nous avons
(−ln(n)) p+1
n a
= o
1
n a
.
Comme a > 1, ceci entraîne la convergence de la série
ln(n) p+1 /n a
(critère de Riemann). On en déduit que la série de fonctions
g
n converge
normalement sur tout segment contenu dans ]1,+∞[.
Par conséquent, la série de fonctions
g n définit une fonction de classe C 1
sur ]1,+∞[ et sa dérivée est donnée par la somme de la série de fonctions
g
n .
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, la fonction ζ est de classe C p et sa
dérivée p ème est la somme de la série
g n . On en déduit que la fonction ζ
est de classe C p+1 et que
∀x ∈]1,+∞[, ζ
( p+1)
(x) =
+∞
n=1
(−ln(n)) p+1
n x
.
La proposition H p+1 est donc vérifiée.
En particulier, nous avons montré que la fonction ζ est de classe C p pour
tout p ∈ N, autrement dit que la fonction ζ est de classe C ∞ .
1.c. Cette question est une simple application de la précédente : nous lirons le sens
de variation de la fonction ζ sur sa dérivée et sa convexité sur sa dérivée seconde.
D'après la question précédente, nous avons
∀x ∈]1,+∞[, ζ
(x) = −
+∞
n=1
ln(n)
n x .
Soit x ∈]1,+∞[. Pour tout n 2, nous avons ln(n)/n x > 0. De plus, le
premier terme de la série est nul. Ainsi, ζ
(x) < 0 .
Par conséquent, la fonction ζ est strictement décroissante sur ]1,+∞[.
Nous aurions également pu utiliser le fait que chacune des fonctions x → 1/n x est
strictement décroissante. Cela assure que leur somme ζ l'est également.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions