et donc || f n || ∞,[a,b] 1/n a . La série
1/n a converge car a > 1. On en
déduit que la série de fonctions
f n converge normalement sur tout segment contenu dans ]1,+∞[.
Par conséquent, la fonction ζ est continue sur ]1,+∞[.
1.b. Nous devons, à présent, montrer que la fonction ζ est de classe C ∞ sur ]1,+∞[.
Au programme figure seulement un énoncé pour montrer qu'une série de fonctions
est de classe C 1 . Nous allons donc procéder par récurrence. Notons qu'il est facile
de déterminer la forme des dérivées successives : on vérifie que
∀ p ∈ N,∀x ∈]1,+∞[, f
( p)
n (x) =
(−ln(n)) p
n x
.
En effet, en écrivant f n (x) = e −x ln(n) , on voit que la dérivée de cette fonction est
−ln(n)e −x ln(n) = −ln(n)/n x soit f
n (x) = −ln(n) f n (x) . Le facteur −ln(n) étant
indépendant de x on en tire f
n (x) = −ln(n) f
n (x) = (−ln(n)) 2 f n (x), etc. Ainsi, on
voit qu'un facteur −ln(n) apparaît à chaque dérivation.
Montrons par récurrence que, pour tout p ∈ N, la proposition H p suivante
est vraie : la fonction ζ est de classe C p et
∀x ∈]1,+∞[, ζ
( p)
(x) =
+∞
n=1
(−ln(n)) p
n x
.
• Initialisation
La proposition H 0 est vraie d'après la question précédente.
• Étape de récurrence
Soit p ∈ N tel que la proposition H p est vraie. La fonction ζ est alors de
classe C p et nous avons
∀x ∈]1,+∞[, ζ
( p)
(x) =
+∞
n=1
(−ln(n)) p
n x
.
Pour n ∈ N ∗ , posons
g n : ]1,+∞[ →
R
x
→
(−ln(n)) p
n x
.
Nous savons déjà, d'après H p , que la série
g n converge simplement sur
]1,+∞[.
Pout tout n ∈ N ∗ , la fonction g n est de classe C 1 sur ]1,+∞[ et nous avons
∀x ∈]1,+∞[, g
n (x) =
(−ln(n)) p+1
n x
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions