Exercice 6.4 : Fonction ζ de Riemann
Pour x ∈]1,+∞[ on pose ζ(x) =
+∞
n=1
1
n x .
1.a. Montrer que la fonction ζ est bien définie et continue sur ]1,+∞[.
1.b. Montrer que la fonction ζ est de classe C ∞ sur ]1,+∞[ et exprimer ses dérivées sous forme de sommes de séries.
1.c. Préciser les variations de la fonction ζ et étudier sa convexité.
2. Déterminer lim
x→+∞
ζ(x).
3. Déterminer un équivalent simple de ζ(x) quand x tend vers 1. On pourra encadrer le terme général de la série définissant ζ à l'aide d'intégrales.
4. Représenter graphiquement la fonction ζ.
1.a. Commençons par montrer que la fonction ζ est bien définie, autrement dit, que
la série de fonctions qui la définit est simplement convergente.
Pour n ∈ N ∗ , posons
f n : ]1,+∞[ → R
x
→
1
n x
.
Soit x ∈]1,+∞[. La série
n1
f n (x) =
n1
1
n x
est alors une série de Riemann convergente.
Par conséquent, la série de fonctions
f n converge simplement sur
]1,+∞[ et la fonction ζ est bien définie.
Nous nous intéressons, à présent, à la continuité de la fonction ζ. Commençons par
remarquer que chacune des fonctions f n , avec n 1, est continue. La façon de faire
la plus expéditive est d'étudier la convergence normale sur ]1,+∞[. Or, pour tout
n 1, le meilleur majorant de | f n | sur ]1,+∞[ est 1/n et nous savons que la série
1/n diverge. Nous devrons donc nous contenter de la convergence normale sur
tout segment.
Pour tout n ∈ N ∗ , la fonction f n est continue sur ]1,+∞[.
Soit (a,b) ∈ R 2 vérifiant 1 < a < b. Pour tout n ∈ N ∗ , nous avons
∀x ∈ [a,b], | f n (x)| =
1
n x
1
n a
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions