Enfin, la convergence uniforme sur R + permet d'intervertir
et limite en +∞.
Fixons n ∈ N : lim
x→+∞
f n (x) = 0. La série
f n étant uniformément
convergente sur R + on a donc
lim
x→+∞
+∞
n=1
f n (x) =
+∞
n=1
lim
x→+∞
f n (x) = 0.
2. Nous avons le résultat suivant : si les fonctions f n sont de classe C 1 , si
f
n
converge uniformément sur tout segment et si
f n converge simplement, alors
f n est de classe C 1 et on peut intervertir
et dérivation.
La convergence simple de
f n est d'ores et déjà acquise. Pour la convergence uniforme sur tout segment de
f
n , nous allons d'abord étudier la convergence normale : si cette série converge normalement sur tout segment, elle sera a fortiori uniformément convergente, comme nous l'avons remarqué plus haut.
Les fonctions f n sont bien toutes de classe C 1 et la série
f n converge simplement sur R + . Par ailleurs, nous avons vu que, pour n ∈ N ∗ :
∀x ∈ R + , f
n (x) = (−1)
n n 2 − x 2
(n 2 + x 2 ) 2 .
En particulier, pour tout (n,x) ∈ N ∗ × R + :
| f
n (x)|
n 2 + x 2
(n 2 + x 2 ) 2 =
1
n 2 + x 2
1
n 2 .
Ainsi, pour tout n ∈ N ∗ , f
n est bornée sur R + . De plus, la série
|| f
n || ∞
est convergente.
La série de fonction
f
n est donc normalement convergente sur R + .
A fortiori, elle est uniformément convergente sur tout segment inclus dans
R + . D'après le théorème de dérivation sous le signe somme, f est donc de
classe C 1 sur R + et :
∀x ∈ R + , f
(x) =
+∞
n=1
(−1)
n n 2 − x 2
(n 2 + x 2 ) 2 .
Il faut retenir que la convergence normale est le moyen le plus efficace de prouver
une convergence uniforme. Il faut toujours commencer par étudier la convergence
normale d'une série de fonctions et n'envisager de démontrer directement la convergence uniforme qu'en cas d'échec (cf. exercice 6.7).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
173
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
et limite en +∞.
Fixons n ∈ N : lim
x→+∞
f n (x) = 0. La série
f n étant uniformément
convergente sur R + on a donc
lim
x→+∞
+∞
n=1
f n (x) =
+∞
n=1
lim
x→+∞
f n (x) = 0.
2. Nous avons le résultat suivant : si les fonctions f n sont de classe C 1 , si
f
n
converge uniformément sur tout segment et si
f n converge simplement, alors
f n est de classe C 1 et on peut intervertir
et dérivation.
La convergence simple de
f n est d'ores et déjà acquise. Pour la convergence uniforme sur tout segment de
f
n , nous allons d'abord étudier la convergence normale : si cette série converge normalement sur tout segment, elle sera a fortiori uniformément convergente, comme nous l'avons remarqué plus haut.
Les fonctions f n sont bien toutes de classe C 1 et la série
f n converge simplement sur R + . Par ailleurs, nous avons vu que, pour n ∈ N ∗ :
∀x ∈ R + , f
n (x) = (−1)
n n 2 − x 2
(n 2 + x 2 ) 2 .
En particulier, pour tout (n,x) ∈ N ∗ × R + :
| f
n (x)|
n 2 + x 2
(n 2 + x 2 ) 2 =
1
n 2 + x 2
1
n 2 .
Ainsi, pour tout n ∈ N ∗ , f
n est bornée sur R + . De plus, la série
|| f
n || ∞
est convergente.
La série de fonction
f
n est donc normalement convergente sur R + .
A fortiori, elle est uniformément convergente sur tout segment inclus dans
R + . D'après le théorème de dérivation sous le signe somme, f est donc de
classe C 1 sur R + et :
∀x ∈ R + , f
(x) =
+∞
n=1
(−1)
n n 2 − x 2
(n 2 + x 2 ) 2 .
Il faut retenir que la convergence normale est le moyen le plus efficace de prouver
une convergence uniforme. Il faut toujours commencer par étudier la convergence
normale d'une série de fonctions et n'envisager de démontrer directement la convergence uniforme qu'en cas d'échec (cf. exercice 6.7).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions