Ce résultat est problématique car la convergence normale est le moyen le plus
simple pour montrer qu'une série de fonctions est uniformément convergente. Il va
donc falloir raisonner autrement pour conclure. Nous allons commencer par exposer la manière générale de procéder.
Nous devons déterminer une fonction f telle que lim
n→∞
n
k=1
f k − f
∞
= 0 . Notons
que, nécessairement, f est la limite simple de la série
f k . Nous allons commencer par démontrer que la série converge simplement. En notant f sa somme, nous
aurons
n
k=1
f k − f =
+∞
k=n+1
f k , que nous noterons R n : c'est le reste d'ordre n de
f k . Il suffira alors de démontrer que lim
n→∞
||R n || ∞ = 0 , autrement dit que le reste
de la série converge uniformément vers 0.
Il nous faudra donc obtenir une majoration de la valeur absolue du reste. C'est ici
que l'on va pouvoir exploiter la forme particulière de la série
f k : à x donné, il
s'agit d'une série numérique alternée. Le critère spécial des séries alternées nous
donnera à la fois la convergence simple et une majoration du reste, ce qui permettra de conclure.
Fixons x ∈ R + . La série numérique
f k (x) vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées : en effet, son terme général est alterné et
sa valeur absolue tend vers 0 en décroissant quand n tend vers +∞.
Ceci montre que la série
f k converge simplement sur R + . De plus, en
notant R n (x) =
+∞
k=n+1
f k (x) , nous avons la majoration
|R n (x)| | f n+1 (x)|.
Nous savons, d'après les calculs précédents, que | f n+1 (x)| 1/(2(n + 1)) .
Ainsi,
||R n || ∞ 1/(2n + 2).
La suite des restes de la série
f k converge donc uniformément vers 0. On
en déduit que la série
f k est uniformément convergente sur R + .
Ce raisonnement s'adapte à une situation bien plus générale: si ( f n ) n∈N est une
suite de fonctions convergeant uniformément vers 0 sur un intervalle I et telle que,
pour tout x ∈ I,
f n (x) vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées, alors
f n converge uniformément sur I .
172
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
simple pour montrer qu'une série de fonctions est uniformément convergente. Il va
donc falloir raisonner autrement pour conclure. Nous allons commencer par exposer la manière générale de procéder.
Nous devons déterminer une fonction f telle que lim
n→∞
n
k=1
f k − f
∞
= 0 . Notons
que, nécessairement, f est la limite simple de la série
f k . Nous allons commencer par démontrer que la série converge simplement. En notant f sa somme, nous
aurons
n
k=1
f k − f =
+∞
k=n+1
f k , que nous noterons R n : c'est le reste d'ordre n de
f k . Il suffira alors de démontrer que lim
n→∞
||R n || ∞ = 0 , autrement dit que le reste
de la série converge uniformément vers 0.
Il nous faudra donc obtenir une majoration de la valeur absolue du reste. C'est ici
que l'on va pouvoir exploiter la forme particulière de la série
f k : à x donné, il
s'agit d'une série numérique alternée. Le critère spécial des séries alternées nous
donnera à la fois la convergence simple et une majoration du reste, ce qui permettra de conclure.
Fixons x ∈ R + . La série numérique
f k (x) vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées : en effet, son terme général est alterné et
sa valeur absolue tend vers 0 en décroissant quand n tend vers +∞.
Ceci montre que la série
f k converge simplement sur R + . De plus, en
notant R n (x) =
+∞
k=n+1
f k (x) , nous avons la majoration
|R n (x)| | f n+1 (x)|.
Nous savons, d'après les calculs précédents, que | f n+1 (x)| 1/(2(n + 1)) .
Ainsi,
||R n || ∞ 1/(2n + 2).
La suite des restes de la série
f k converge donc uniformément vers 0. On
en déduit que la série
f k est uniformément convergente sur R + .
Ce raisonnement s'adapte à une situation bien plus générale: si ( f n ) n∈N est une
suite de fonctions convergeant uniformément vers 0 sur un intervalle I et telle que,
pour tout x ∈ I,
f n (x) vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées, alors
f n converge uniformément sur I .
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions