[a,+∞[, a > 0. Pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R + , nous
allons donc prendre = 0 et exhiber une suite (x n ) n∈N d'éléments de R + qui
converge vers 0 mais telle que ( f n (x n )) n∈N ne tende pas vers 0. Ainsi, nous aurons
bien démontré qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R + .
Vu la définition de f n , nous devons choisir x n de sorte à neutraliser le facteur n. Nous
pouvons prendre x n = 1/n.
Si ( f n ) n∈N convergeait uniformément sur R + , sa limite uniforme serait sa
limite simple, à savoir la fonction nulle. De plus, pour toute suite convergente (x n ) n∈N d'éléments de R + , on aurait lim
n→∞
f n (x n ) = 0.
Cependant, f n (1/n) = e −1 sin(1) , qui est constant et non nul. Ainsi,
f n (1/n) ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞. Ceci montre que la suite
de fonctions ( f n ) n∈N ne converge pas uniformément sur R + .
Une étude rigoureuse des fonctions f n permet de voir que leur maximum, en valeur
absolue, est atteint en x n = π/(4n) et donc que || f n || ∞ = e −π/4 √
2/2 . Ceci montre
également que cette suite ne converge pas uniformément vers 0 sur R + . Notons que
ce maximum est indépendant de n : c'est ce qu'on peut deviner à la vue de la figure
présentée au début de la correction.
Exercice 6.3 : Convergence uniforme d'une série de fonctions
On considère la série de fonctions
n1
f n définie sur R + par f n (x) =
(−1) n
x
n 2 + x 2 .
1. Démontrer que cette série est uniformément convergente sur R + bien qu'elle
ne soit pas normalement convergente. Quelle est la limite de sa somme en +∞ ?
2. Démontrer que sa somme est de classe C 1 sur R + .
1. Le plus simple est de commencer par étudier la convergence normale. En l'occurence, les fonctions f n sont aisées à étudier et nous déterminerons sans problème les
maxima de leur valeur absolue.
Soit n ∈ N ∗ . Pour x ∈ R on a | f n (x)| =
x
n 2 + x 2 . Cette fonction est dérivable et | f n |
(x) =
n 2 − x 2
(n 2 + x 2 ) 2 . Ainsi, | f n | est croissante sur [0,n] et
décroissante sur [n,+∞[. De plus, | f n (0)| = 0 et lim
x→+∞
| f n (x)| = 0 .
Ainsi, | f n | possède sur R + un maximum atteint en n. On a donc
|| f n || ∞ = | f n (n)| = 1/(2n) .
Ainsi, la série
|| f n || ∞ est une série de Riemann divergente. En conséquence, la série de fonctions
f n ne converge pas normalement sur R + .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
171
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
allons donc prendre = 0 et exhiber une suite (x n ) n∈N d'éléments de R + qui
converge vers 0 mais telle que ( f n (x n )) n∈N ne tende pas vers 0. Ainsi, nous aurons
bien démontré qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R + .
Vu la définition de f n , nous devons choisir x n de sorte à neutraliser le facteur n. Nous
pouvons prendre x n = 1/n.
Si ( f n ) n∈N convergeait uniformément sur R + , sa limite uniforme serait sa
limite simple, à savoir la fonction nulle. De plus, pour toute suite convergente (x n ) n∈N d'éléments de R + , on aurait lim
n→∞
f n (x n ) = 0.
Cependant, f n (1/n) = e −1 sin(1) , qui est constant et non nul. Ainsi,
f n (1/n) ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞. Ceci montre que la suite
de fonctions ( f n ) n∈N ne converge pas uniformément sur R + .
Une étude rigoureuse des fonctions f n permet de voir que leur maximum, en valeur
absolue, est atteint en x n = π/(4n) et donc que || f n || ∞ = e −π/4 √
2/2 . Ceci montre
également que cette suite ne converge pas uniformément vers 0 sur R + . Notons que
ce maximum est indépendant de n : c'est ce qu'on peut deviner à la vue de la figure
présentée au début de la correction.
Exercice 6.3 : Convergence uniforme d'une série de fonctions
On considère la série de fonctions
n1
f n définie sur R + par f n (x) =
(−1) n
x
n 2 + x 2 .
1. Démontrer que cette série est uniformément convergente sur R + bien qu'elle
ne soit pas normalement convergente. Quelle est la limite de sa somme en +∞ ?
2. Démontrer que sa somme est de classe C 1 sur R + .
1. Le plus simple est de commencer par étudier la convergence normale. En l'occurence, les fonctions f n sont aisées à étudier et nous déterminerons sans problème les
maxima de leur valeur absolue.
Soit n ∈ N ∗ . Pour x ∈ R on a | f n (x)| =
x
n 2 + x 2 . Cette fonction est dérivable et | f n |
(x) =
n 2 − x 2
(n 2 + x 2 ) 2 . Ainsi, | f n | est croissante sur [0,n] et
décroissante sur [n,+∞[. De plus, | f n (0)| = 0 et lim
x→+∞
| f n (x)| = 0 .
Ainsi, | f n | possède sur R + un maximum atteint en n. On a donc
|| f n || ∞ = | f n (n)| = 1/(2n) .
Ainsi, la série
|| f n || ∞ est une série de Riemann divergente. En conséquence, la série de fonctions
f n ne converge pas normalement sur R + .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions