Comme souvent, la convergence simple ne pose pas de difficulté. C'est la convergence uniforme qui risque d'être plus technique.
Pour x > 0 on a f n (x) = (e −x ) n sin(nx) et donc | f n (x)| (e −x ) n . Comme
e −x ∈]0,1[, on a lim
n→∞
f n (x) = 0.
Par ailleurs, f n (0) = 0. Ainsi, ( f n ) n∈N converge simplement vers 0 sur R + .
Si la suite convergeait uniformément sur R + , sa limite serait nécessairement sa
limite simple, à savoir 0. Il suffit donc de démontrer que || f n || ∞,R + ne tend pas vers
0 pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R + .
La première méthode qui vient à l'esprit est d'étudier la fonction f n pour déterminer
le maximum de | f n |. Cependant, la dérivée de cette fonction est
f
n (x) = −ne −nx sin(nx) + e −nx n cos (nx)
= ne −nx ( cos (nx) − sin(nx))
= ne −nx √
2 cos (nx + π/4),
la dernière égalité étant obtenue à l'aide de la formule de trigonométrie :
cos (a) − sin(a) =
√
2( cos (a) cos (π/4) − sin(a) sin(π/4)) =
√
2 cos (a + π/4).
Il n'est pas tout à fait évident d'exploiter cette formule pour étudier f n , même si c'est
possible en théorie. Nous avons un renseignement bien plus simple sur f n , à savoir
la majoration grossière | f n (x)| e −nx (car |sin(nx)| 1). Cette majoration nous
permet de conclure simplement quant à la convergence uniforme sur [a,+∞[.
Pour tout réel positif x et tout entier naturel n, | f n (x)| e −nx . On en
déduit que, si a est un réel strictement positif et x a,
| f n (x)| e −nx e −na . Ainsi :
∀n ∈ N,|| f n || ∞,[a,+∞[ e
−na
.
Comme a > 0, lim
n→∞
e
−na
= 0 et donc lim
n→∞
|| f n || ∞,[a,+∞[ = 0. Ainsi, pour
tout réel a > 0, la suite de fonctions ( f n ) n∈N converge uniformément vers
0 sur [a,+∞[.
Pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R + , ce n'est pas une majoration dont nous avons besoin mais plutôt d'une minoration de | f n |. Ceci n'est a priori
pas évident. Nous pouvons conclure en raisonnant par l'absurde grâce au théorème
suivant, dit de la double limite : si ( f n ) n∈N converge uniformément vers f sur un
intervalle I et si (x n ) n∈N est une suite d'éléments de I convergeant vers ∈ I alors
lim
n→∞
( f n (x n )) = f ((). Nous savons que ce résultat est vrai avec f = 0 et > 0
puisque ( f n ) n∈N converge uniformément vers 0 sur tout intervalle de la forme
170
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
Pour x > 0 on a f n (x) = (e −x ) n sin(nx) et donc | f n (x)| (e −x ) n . Comme
e −x ∈]0,1[, on a lim
n→∞
f n (x) = 0.
Par ailleurs, f n (0) = 0. Ainsi, ( f n ) n∈N converge simplement vers 0 sur R + .
Si la suite convergeait uniformément sur R + , sa limite serait nécessairement sa
limite simple, à savoir 0. Il suffit donc de démontrer que || f n || ∞,R + ne tend pas vers
0 pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R + .
La première méthode qui vient à l'esprit est d'étudier la fonction f n pour déterminer
le maximum de | f n |. Cependant, la dérivée de cette fonction est
f
n (x) = −ne −nx sin(nx) + e −nx n cos (nx)
= ne −nx ( cos (nx) − sin(nx))
= ne −nx √
2 cos (nx + π/4),
la dernière égalité étant obtenue à l'aide de la formule de trigonométrie :
cos (a) − sin(a) =
√
2( cos (a) cos (π/4) − sin(a) sin(π/4)) =
√
2 cos (a + π/4).
Il n'est pas tout à fait évident d'exploiter cette formule pour étudier f n , même si c'est
possible en théorie. Nous avons un renseignement bien plus simple sur f n , à savoir
la majoration grossière | f n (x)| e −nx (car |sin(nx)| 1). Cette majoration nous
permet de conclure simplement quant à la convergence uniforme sur [a,+∞[.
Pour tout réel positif x et tout entier naturel n, | f n (x)| e −nx . On en
déduit que, si a est un réel strictement positif et x a,
| f n (x)| e −nx e −na . Ainsi :
∀n ∈ N,|| f n || ∞,[a,+∞[ e
−na
.
Comme a > 0, lim
n→∞
e
−na
= 0 et donc lim
n→∞
|| f n || ∞,[a,+∞[ = 0. Ainsi, pour
tout réel a > 0, la suite de fonctions ( f n ) n∈N converge uniformément vers
0 sur [a,+∞[.
Pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme sur R + , ce n'est pas une majoration dont nous avons besoin mais plutôt d'une minoration de | f n |. Ceci n'est a priori
pas évident. Nous pouvons conclure en raisonnant par l'absurde grâce au théorème
suivant, dit de la double limite : si ( f n ) n∈N converge uniformément vers f sur un
intervalle I et si (x n ) n∈N est une suite d'éléments de I convergeant vers ∈ I alors
lim
n→∞
( f n (x n )) = f ((). Nous savons que ce résultat est vrai avec f = 0 et > 0
puisque ( f n ) n∈N converge uniformément vers 0 sur tout intervalle de la forme
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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions