On a donc ||g n || ∞ π|| f n || ∞ , ce qui entraîne lim
n→∞
||g n || ∞ = 0 d'après
l'étude de la suite ( f n ) n∈N précédemment effectuée. Ainsi, la suite (g n ) n∈N
converge uniformément vers 0 sur [0,1].
Alternativement, nous aurions pu utiliser l'inégalité des accroissements finis. En
effet, la dérivée de x → sin(πx) est la fonction x → π cos (πx), qui est majorée en
valeur absolue par π. On a donc, pour x ∈ [0,1], |sin(πx) − sin(π)| π|x − 1| ,
soit encore 0 sin(πx) π(1 − x) car sin(πx) 0 et x 1. Nous retrouvons
donc bien la même majoration.
Enfin, le tracé des premières fonctions g n confirme visuellement la convergence
uniforme vers 0 :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
169
Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
1
0
0
0.5
1
n = 1
n = 2
n = 3
Exercice 6.2 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions II
Démontrer que la suite de fonctions définies sur R + par f n (x) = e −nx sin(nx)
converge simplement sur R + , que la convergence est uniforme sur tout intervalle
de la forme [a,+∞[ (a > 0) mais qu'elle n'est pas uniforme sur R + .
Le tracé à la calculatrice des fonctions f n montre ce qui se produit : le graphe présente une « bosse » qui se tasse près de 0 et empêche ainsi la convergence uniforme
sur R + . Cependant, cette bosse sort de tout intervalle [a,+∞[ pour a > 0 donné,
ce qui explique que l'on ait néanmoins la convergence uniforme sur chacun de ces
intervalles.
0
1
2
0
0.5
f 1
f 2
f 5