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Chapitre 6 • Suites et séries de fonctions
Pour la suite (g n ) n∈N , le calcul de la dérivée n'est pas aussi concluant. En effet, pour
tout x ∈ [0,1] :
g
n (x) = nx
n−1 sin(πx) + x
n π cos (πx) = x
n−1
(n sin(πx) + πx cos (πx)).
Il n'est pas évident de déterminer les points d'annulation de cette dérivée pour étudier la fonction g n .
Cependant, il est assez simple de majorer sin(πx) par une fonction affine de x pour
se ramener aux fonctions f n précédemment étudiées. Plus précisément, on a la majoration sin(πx) π(1 − x) pour x ∈ [0,1], majoration que l'on peut aisément visualiser graphiquement :
1
0
0
0.1
0.2
0.3
n = 1
n = 2
n = 3
0
1
0
1
2
3
y = π(1 − x)
y = sin(πx)
Elle peut être établie de plusieurs façons, par exemple par une inégalité de convexité
ou par l'inégalité des accroissements finis.
La fonction x → sin(πx) est concave sur [0,1] car sa dérivée seconde est
négative. En particulier, le graphe de la fonction est situé sous ses tangentes. Sa tangente au point d'abscisse 1 ayant pour équation
y = π(1 − x) on a donc :
∀x ∈ [0,1],sin(πx) π(1 − x).
Par ailleurs, sin(πx) 0 pour x ∈ [0,1]. En conséquence :
∀n ∈ N,∀x ∈ [0,1],0 g n (x) π f n (x).