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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 6.1 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions I
On définit deux suites de fonctions sur [0,1] par f n (x) = x n (1 − x) et
g n (x) = x n sin(πx) . Démontrer que ces suites convergent uniformément vers 0
sur [0,1].
L'étude des fonctions f n est aisée. Nous allons pouvoir déterminer leurs extrema, ce
qui permettra de conclure quant à leur convergence uniforme.
Pour n ∈ N ∗ , la dérivée de f n est
f
n (x) = nx
n−1
− (n + 1)x
n
= x
n−1
(n − (n + 1)x).
On en déduit que la fonction f n est croissante sur [0,n/(n + 1)] et décroissante sur [n/(n + 1),1]. De plus, elle vaut 0 en 0 et 1. Ainsi :
∀x ∈ [0,1],0 f n (x) f n (n/n + 1)
ce qui montre que | f n | atteint son maximum en n/(n + 1), i.e.
|| f n || ∞ = f n (n/(n + 1)).
Par ailleurs,
f n (n/n + 1) =
n
n + 1
n
1 −
n
n + 1
=
1 +
1
n
−n 1
n + 1
∼
1
en
.
En conséquence, || f n || ∞ tend vers 0 quand n tend vers +∞, ce qui montre
que la suite de fonctions ( f n ) n∈N converge uniformément vers 0 sur [0,1].
La représentation graphique des fonctions f n permet de visualiser les calculs précédents : on constate que l'abscisse du maximum de | f n | (en fait de f n , car cette fonction est positive) tend vers 1 mais que la valeur de ce maximum tend bien vers 0.
Suites
et séries de fonctions
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 6.1 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions I
On définit deux suites de fonctions sur [0,1] par f n (x) = x n (1 − x) et
g n (x) = x n sin(πx) . Démontrer que ces suites convergent uniformément vers 0
sur [0,1].
L'étude des fonctions f n est aisée. Nous allons pouvoir déterminer leurs extrema, ce
qui permettra de conclure quant à leur convergence uniforme.
Pour n ∈ N ∗ , la dérivée de f n est
f
n (x) = nx
n−1
− (n + 1)x
n
= x
n−1
(n − (n + 1)x).
On en déduit que la fonction f n est croissante sur [0,n/(n + 1)] et décroissante sur [n/(n + 1),1]. De plus, elle vaut 0 en 0 et 1. Ainsi :
∀x ∈ [0,1],0 f n (x) f n (n/n + 1)
ce qui montre que | f n | atteint son maximum en n/(n + 1), i.e.
|| f n || ∞ = f n (n/(n + 1)).
Par ailleurs,
f n (n/n + 1) =
n
n + 1
n
1 −
n
n + 1
=
1 +
1
n
−n 1
n + 1
∼
1
en
.
En conséquence, || f n || ∞ tend vers 0 quand n tend vers +∞, ce qui montre
que la suite de fonctions ( f n ) n∈N converge uniformément vers 0 sur [0,1].
La représentation graphique des fonctions f n permet de visualiser les calculs précédents : on constate que l'abscisse du maximum de | f n | (en fait de f n , car cette fonction est positive) tend vers 1 mais que la valeur de ce maximum tend bien vers 0.
Suites
et séries de fonctions
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