Considérons la série
n2
(−1) n
√
n
. Pour tout n 2, nous avons
(−1) n
√
n
> −1
et
ln
1 +
(−1) n
√
n
=
(−1) n
√
n
−
1
2n
+ o
1
n
.
Cette expression est la somme de (−1) n /
√
n , qui est le terme général d'une
série convergente, et d'un terme équivalent à −1/(2n), qui est le terme
général d'une série divergente d'après le critère de Riemann. Plus précisément, la suite des sommes partielles de cette deuxième série tend vers −∞.
Par conséquent, nous avons
n
k=2
ln
1 +
(−1) k
√
k
− −− →
n→+∞
− ∞
et donc
p n = exp
n
k=2
ln
1 +
(−1) k
√
k
− −− →
n→+∞
0.
La série
n2
(−1) n
√
n
fournit bien le contre-exemple recherché.
166
Chapitre 5 • Séries numériques