Nous avons dû distinguer le cas N = 0 car alors le produit
N −1
k=0
(1 + u k ) n'a pas
de sens (pour k = N − 1 on aurait le terme 1 + u −1 qui n'est pas défini).
3. D'après les questions précédentes, la série recherchée ne doit pas être absolument
convergente. Il est donc naturel de chercher un tel exemple parmi les séries alternées classiques, par exemple
n1 (−1) n /n. Puisque son premier terme vaut −1,
nous allons plutôt considérer la série
n2 (−1) n /n. Comme précédemment, nous
allons ramener l'étude du produit infini à celle de la série
n2 ln(1 + (−1) n /n).
Nous avons
ln
1 +
(−1) n
n
=
(−1) n
n
−
1
2n 2 + o
1
n 2
.
C'est la somme de (−1) n /n, qui est le terme général d'une série convergente, et d'un
terme équivalent à −1/(2n 2 ), qui est également le terme général d'une série convergente (critère de Riemann). Par le même raisonnement qu'à la question précédente,
nous en déduisons que la suite ( p n ) n2 tend vers une limite strictement positive.
Sur cet exemple on peut en fait calculer explicitement la limite par téléscopie. On
remarque en effet que chaque terme d'indice pair du produit est l'inverse du suivant
car, si k est pair :
1 +
(−1) k
k
1 +
(−1) k+1
k + 1
=
1 +
1
k
1 −
1
k + 1
= 1.
En conséquence, p n = 1 (si n est impair) ou 1 + 1/n (si n est pair) et tend donc vers
1 quand n tend vers +∞.
Ce premier exemple ne convient donc pas et nous allons le modifier.
Si l'on pousse un peu plus loin l'équivalent de la première question en reprenant
comme ci-dessus le développement limité à l'ordre 2 en 0 de ln(1 + x) on obtient
ln(1 + u n ) = u n −
u 2
n
2
+ o(u
2
n ).
C'est la somme de u n , qui est le terme général d'une série convergente, et d'un terme
équivalent à −(1/2)u 2
n , qui est de signe constant. Nous devons donc faire en sorte
que
u n converge mais
u 2
n diverge. Pour cela, nous allons considérer la série
(−1) n /
√
n .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques