On en déduit que les suites (ln( p n )) n∈N , puis ( p n ) n∈N , convergent également.
Plus précisément, pour tout n ∈ N, nous avons
p n = exp
n
k=0
ln(1 + u k )
− −− →
n→+∞
exp
+∞
k=0
ln(1 + u k )
.
Puisque la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives sur R, la suite ( p n ) n∈N tend vers une limite strictement positive.
2. L'énoncé nous suggère de traiter à part les termes u k > −1. Puisque la suite
(u k ) k∈N tend vers 0, il n'existe qu'un nombre fini de tels termes.
Puisque la série
u n converge, son terme général tend vers 0. On en déduit
qu'il existe N ∈ N tel que
∀n N , u n > −1.
Si N = 0, le résultat de la première question s'applique. Sinon, pour n N,
posons
q n =
n
k=N
(1 + u k ).
D'après la question précédente, la suite (q n ) nN tend vers une limite réelle
> 0.
Pour tout n N, nous avons
p n = q n
N −1
k=0
(1 + u k ).
Par conséquent, la suite ( p n ) n0 converge et nous avons
lim
n→∞
p n =
N −1
k=0
(1 + u k ).
• Supposons que la suite ( p n ) n∈N tende vers 0.
Nous avons alors
N −1
k=0
(1 + u k ) = 0.
Puisque > 0, il existe un entier k compris entre 0 et N − 1 tel que
u k = −1.
• Réciproquement, supposons qu'il existe k ∈ N tel que u k = −1. Alors
p n = 0 pour n k et, a fortiori, lim
n→∞
p n = 0 .
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Chapitre 5 • Séries numériques