Exercice 5.12 : Produits infinis
Soit
n0
u n une série à termes réels absolument convergente.
Pour n ∈ N, on pose p n =
n
k=0
(1 + u k ) .
1. Supposons que, pour tout n 0, on a u n > −1. Montrer que la suite ( p n ) n∈N
converge et que sa limite est strictement positive.
2. Revenons au cas général. Montrer que la suite ( p n ) n∈N converge et que sa
limite est nulle si, et seulement si, au moins l'un des termes de la suite (u n ) n∈N
vaut −1.
3. Donner un exemple d'une série convergente
n0
u n dont tous les termes sont
différents de −1 mais telle que la suite ( p n ) n∈N associée tende vers 0.
1. Pour étudier un produit à l'aide d'une hypothèse portant sur une somme, il est
assez naturel d'utiliser un logarithme. Cependant, l'égalité
ln( p n ) =
n
k=0
ln(1 + u k )
n'a de sens que si tous les réels u k sont strictement supérieurs à −1 : c'est précisément le cas dans cette première question. L'hypothèse nous permet donc ici de passer au logarithme sans problème.
Lorsqu'un exercice comporte sommes et produits, il peut se révéler intéressant de
passer d'une forme à l'autre en utilisant les fonctions exponentielle et logarithme.
Cependant, il faut alors être prudent sur le signe des quantités auxquelles on
applique le logarithme.
Par hypothèse, pour tout k ∈ N, nous avons 1 + u k > 0. Quel que soit
n ∈ N, nous avons donc
ln( p n ) =
n
k=0
ln(1 + u k ).
Puisque la série de terme général u k converge, la suite (u k ) k0 tend vers 0
et, pour k ∈ N, nous avons
|ln(1 + u k )| ∼ |u k |.
La série
|u k | est positive et convergente par hypothèse donc
ln(1 + u k ) est absolument convergente (et donc convergente).
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Chapitre 5 • Séries numériques