indépendamment de l'entier N. La somme de cosinus peut être simplifiée à l'aide
des complexes en écrivant cos (nθ) = Re(e inθ ) . Ceci fera apparaître une somme
partielle de série géométrique que nous savons calculer explicitement. Comme d'habitude, il faut traiter séparément le cas où la raison, ici exp(iθ), vaut 1.
• Supposons, tout d'abord, que θ = 0 mod 2π.
Pour tout n ∈ N, nous avons nθ = 0 mod 2π et donc cos (nθ) = 1. Par
conséquent, nous avons
n0
cos (nθ)
n + 1
=
n0
1
n + 1
.
Cette série diverge.
• Supposons, à présent, que θ = / 0 mod 2π.
Pour n ∈ N, posons
a n = cos (nθ) et b n =
1
n + 1
.
Puisque θ = / 0 mod 2π, nous avons e iθ = / 1. Par conséquent, quel que soit
N ∈ N :
N
n=0
a n
=
N
n=0
cos (nθ)
=
N
n=0
Re
e
inθ
=
Re
N
n=0
e
iθ
n
=
Re
1 − e i(n+1)θ
1 − e iθ
1 − e i(n+1)θ
1 − e iθ
2
|1 − e iθ |
.
Ce majorant est indépendant de N. En outre, la suite (b n ) n0 =
(1/(n + 1)) n0 est positive, décroissante et de limite nulle. On déduit alors
du résultat obtenu à la question 1 que la série
n0
a n b n =
n0
cos (nθ)
n + 1
converge.
162
Chapitre 5 • Séries numériques