En effet :
• d'une part, pour tout entier naturel k, |b k − b k+1 | = b k − b k+1 , la suite
(b k ) k∈N étant décroissante ;
• d'autre part, |b n+1 | = b n+1 et |b n+ p+1 | = b n+ p+1 car cette suite est à
termes positifs.
Par conséquent nous avons
|S n+ p − S n | M
n+ p
k=n+1
(b k − b k+1 ) + b n+1 + b n+ p+1
M(b n+1 − b n+ p+1 + b n+1 + b n+ p+1 )
2 M b n+1 .
Nous avons bien majoré |S n+ p − S n | indépendamment de p par une suite tendant
vers 0 quand n tend vers +∞. Il ne reste plus qu'à le formaliser.
Soit ε ∈ R ∗
+ . Puisque la suite (b n ) n∈N tend vers 0, il existe N ∈ N tel que
∀n N , b n ε.
Soient n N et p 1. D'après les inégalités précédentes, nous avons
|S n+ p − S n | 2Mb n+1
2Mε.
On en déduit que la série
a n b n satisfait l'hypothèse du critère de Cauchy
et donc qu'elle converge.
2. Nous allons chercher à utiliser le résultat obtenu à la question précédente. Pour
cela, il nous faut écrire
cos (nθ)
n
= a n b n ,
où a n est le terme général d'une série dont les sommes partielles sont bornées et b n
est le terme général d'une suite réelle positive, décroissante et de limite nulle. Un
choix s'impose tout naturellement :
a n = cos (nθ) et b n =
1
n + 1
.
La suite (b n ) n0 satisfait alors les conditions requises. Il nous reste à les vérifier
pour la suite (a n ) n0 : nous devons trouver un moyen de majorer la valeur absolue
de la somme
N
n=0
cos (nθ)
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Chapitre 5 • Séries numériques