Remarquons que
∀n ∈ N
∗
, a n = A n − A n−1 .
Pour appliquer le critère de Cauchy, nous devons démontrer :
∀ε ∈ R
∗
+ , ∃N ∈ N, ∀(n, p) ∈ N × N
∗
, n N ⇒ |S n+ p − S n | ε.
Une autre façon de le formuler est : majorer |S n+ p − S n | par une suite indépendante
de p et tendant vers 0 quand n tend vers +∞.
Soit (n, p) ∈ N × N ∗ . Nous avons
S n+ p − S n =
n+ p
k=0
a k b k −
n
k=0
a k b k
=
n+ p
k=n+1
a k b k
=
n+ p
k=n+1
(A k − A k−1 )b k
=
n+ p
k=n+1
A k b k −
n+ p
k=n+1
A k−1 b k
=
n+ p
k=n+1
A k b k −
n+ p−1
k=n
A k b k+1
=
n+ p
k=n+1
A k b k −
n+ p
k=n+1
A k b k+1
+A n+ p b n+ p+1 − A n b n+1
=
n+ p
k=n+1
A k (b k − b k+1 ) + A n+ p b n+ p+1 − A n b n+1 .
On en déduit que
|S n+ p − S n |
n+ p
k=n+1
|A k ||b k − b k+1 | + |A n b n+1 | + |A n+ p b n+ p+1 |
n+ p
k=n+1
M(b k − b k+1 ) + M b n+1 + M b n+ p+1 .
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Chapitre 5 • Séries numériques