√
x
1
cos (u)
u 2 du − −− →
x→+∞
.
Par conséquent,
G(x) − −− →
x→+∞
2 cos (1) − 2.
On déduit alors de la question 2.b que la série
n1
sin(
√
n)
n
converge.
Exercice 5.11 : Transformation d'Abel
1. On considère deux suites (a n ) n∈N ∈ C N et (b n ) n∈N ∈ R N . On suppose que :
i) il existe un réel positif M tel que, pour tout N ∈ N,
N
n=0
a n
M ;
ii) (b n ) n∈N est positive, décroissante et de limite nulle.
Montrer que la série
n0
a n b n est convergente.
2. Soit θ ∈ R. Déterminer la nature de la série
n0
cos (nθ)
n + 1
.
1. Remarquons tout d'abord que l'exercice proposé est théorique, sans information
numérique, ce qui rend inutilisables les critères de convergence classiques. Nous
allons donc nous rabattre sur le critère de Cauchy.
Pour essayer de vérifier les hypothèses de ce critère, nous allons calculer des différences de sommes partielles en tâchant de faire intervenir les données de l'énoncé et
notamment les sommes partielles de la série
a n . Nous pouvons les faire apparaître en écrivant
a N =
N
n=0
a n −
N −1
n=0
a n .
En remplaçant a n par ces sommes dans l'expression des sommes
a n b n nous
ferons apparaître les sommes partielles de la série de terme général a n , sommes
pour lesquelles nous disposons d'une hypothèse de majoration. Cette manipulation
est la transformation d'Abel.
Pour tout élément n de N, posons
S n =
n
k=0
a k b k et A n =
n
k=0
a k .
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Chapitre 5 • Séries numériques