grale. Il faut ensuite espérer qu'en manipulant cette intégrale à l'aide des méthodes
habituelles (changement de variable, intégration par parties, etc.) nous parviendrons
à décider si cette primitive de g converge ou non en +∞.
Considérons la fonction
G : R ∗
+ →
R
x →
x
1
sin(
√
t)
t
dt
.
C'est une primitive de la fonction g sur R ∗
+ .
Nous allons, tout d'abord, chercher à éliminer la racine carrée par un changement
de variable adéquat.
Soit x ∈ R ∗
+ . En effectuant le changement de variables u =
√
t dans l'intégrale définissant G(x) nous obtenons
G(x) =
x
1
sin(
√
t)
t
dt = 2
√
x
1
sin(u)
u
du.
Nous avons fait disparaître la racine carrée, mais ne pouvons toujours pas déterminer explicitement la primitive G. Cela dit, seule sa convergence en +∞ nous intéresse. Cette intégrale est l'exemple typique d'une intégrale convergente bien que la
fonction ne soit pas intégrable ; une étude détaillée de cette intégrale est proposée
dans l'exercice 7.6. L'intégration par parties permet de montrer la convergence en
faisant apparaître un facteur −1/u 2 .
Effectuons, à présent, une intégration par parties. Nous allons dériver la
fonction u → 1/u en u → −1/u 2 et primitiver la fonction sin en − cos.
Nous obtenons
G(x) = 2
−
cos (u)
u
√
x
1
− 2
√
x
0
cos (u)
u 2 du
= 2 cos (1) − 2
cos (
√
x)
√
x
− 2
√
x
1
cos (u)
u 2 du.
Nous avons
∀u ∈ [1,+∞[,
cos (u)
u 2
1
u 2 .
Par conséquent, la fonction u → cos (u)/u 2 est intégrable sur [1,+∞[. On
en déduit qu'il existe un réel tel que
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Chapitre 5 • Séries numériques