Par conséquent,
∀t ∈ R
∗
+ , | f
(t)|
2
t 2
et la fonction f est intégrable sur [1,+∞[.
On reconnaît en f une dérivée composée. La fonction
F : R ∗
+ →
R
t → sin(ln(t))
est une primitive de la fonction f sur R ∗
+ . La fonction F ne possède pas de
limite en +∞. On peut par exemple le démontrer en remarquant que les
suites
(sin(ln(exp(2πn)))) n1 et (sin(ln(exp(2πn + π/2)))) n1
possèdent des limites différentes (respectivement 0 et 1). On déduit alors
de la question 2.b que la série
n1
cos (ln(n))
n
diverge.
Venons-en, à présent, au second exemple. Le début du raisonnement est identique à
celui de l'exemple que nous venons de traiter.
Considérons la fonction
g : R ∗
+ →
R
t →
sin(
√
t)
t
.
Cette fonction est dérivable sur R ∗
+ et
∀t ∈ R ∗
+ , g (t) =
1
2
√
t
cos (
√
t)t − sin(
√
t)
t 2
=
√
t cos (
√
t) − 2sin(
√
t)
2t 2
.
Par conséquent,
∀t ∈ R
∗
+ , |g
(t)|
√
t + 2
t 2 .
Le membre de droite de l'inégalité est équivalent à t −3/2 au voisinage de
+∞. On en déduit que la fonction g est intégrable sur [1,+∞[.
Cette fois-ci, nous ne voyons apparaître naturellement aucune primitive de la fonction g. Nous allons donc en considérer une abstraitement sous la forme d'une inté© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques